[논문 리뷰] The Laumon's resolution of Drinfeld's compactification is small

Alexander Kuznetsov|ArXiv.org|1996. 10. 27.

Advanced Topology and Set Theory인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 라움온의 드린펠트의 쿼시맵 콪팩티피케이션의 해소가 특이점에 대한 소형 해소임을 증명하며, 드린펠트의 추측을 확인한다. 주요 결과는 특이 콑팩티피케이션 위의 교차 호몰로지 층이 순수 타이트 허드 구조를 지닌다는 것을 보여주며, 베티 수는 루스티그가 정의한 코스타nt의 분할 함수의 $q$-아날로그와 일치한다.

ABSTRACT

Let $C$ be a smooth projective curve of genus 0. Let $\FF$ be the variety of complete flags in an $n$-dimensional vector space $V$. Given an $(n-1)$-tuple $α$ of positive integers one can consider the space $\MMα$ of algebraic maps of degree $α$ from $C$ to $\FF$. This space has drawn much attention recently in connection with Quantum Cohomology. The space $\MMα$ is smooth but not compact. The problem of compactification of $\MMα$ proved very important. One compactification $\MMLα$ (the space of {\em quasiflags}), was constructed in \cite{L}. However, historically the first and most economical compactification $\MMDα$ (the space of {\em quasimaps}) was constructed by Drinfeld (early 80-s, unpublished). The latter compactification is singular, while the former one is smooth. Drinfeld has conjectured that the natural map $π:\MMLα o\MMDα$ is a small resolution of singularities. In the present note we prove this conjecture. As a byproduct, we compute the stalks of $IC$ sheaf on $\MMDα$ and, moreover, the Hodge structure in these stalks. Namely, the Hodge structure is a pure Tate one, and the generating function for the $IC$ stalks is just the Lusztig's $q$-analogue of Kostant's partition function (see \cite{Lu}).

연구 동기 및 목표

• 드린펠트의 추측을 증명하는 것: 스무스 쿼시플랙 공간에서 드린펠트의 특이 쿼시맵 콵팩티피케이션으로 가는 자연스러운 사상이 특이점에 대한 소형 해소임을 입증하는 것.
• 드린펠트의 콵팩티피케이션 위의 교차 호몰로지 층의 스타크를 계산하는 것.
• 이 스타크의 허드 구조를 규명하고 기존의 조합론적 불변량과 연관짓는 것.
• 쿼시맵의 모듈리 공간의 기하학과 표현론적 불변량, 예를 들어 루스티그의 코스타nt의 분할 함수의 $q$-아날로그 사이의 정확한 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 드린펠트의 쿼시맵 콵팩티피케이션의 비특이화로 라움온의 해소를 사용하는 것.
• 해소 사상의 섬유 구조를 분석하여 소형 조건을 검증하는 것.
• 등변 호몰로지와 비알린치크-비르울라 이론을 통해 교차 호몰로지 층의 스타크를 계산하는 것.
• 루스티그의 코스타nt의 분할 함수의 $q$-아날로그를 적용하여 스타크의 베티 수의 생성함수를 묘사하는 것.
• 드린펠트의 콵팩티피케이션의 특이점들이 차원이 특이 공간의 반보다 작은 차원을 갖는 사상에 의해 해소된다는 사실을 이용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라움온의 드린펠트의 쿼시맵 콵팩티피케이션 해소가 특이점에 대한 소형 해소인가?
• RQ2 드린펠트의 특이 콵팩티피케이션 위의 교차 호몰로지 층의 허드 구조는 무엇인가?
• RQ3 드린펠트의 콵팩티피케이션 위의 교차 호몰로지 스타크의 베티 수는 알려진 조합론적 불변량과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 교차 호몰로지 스타크의 베티 수의 생성함수는 루스티그의 코스타nt의 분할 함수의 $q$-아날로그로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 스무스 쿼시플랙 공간에서 드린펠트의 쿼시맵 콵팩티피케이션으로 가는 해소 사상이 특이점에 대한 소형 해소임을 증명하였다.
• 드린펠트의 콵팩티피케이션 위의 교차 호몰로지 층의 스타크는 순수 타이트 허드 구조를 지닌다.
• 교차 호몰로지 층의 스타크에 대한 베티 수의 생성함수는 루스티그의 $q$-아날로그 코스타nt의 분할 함수와 같다.
• 해소 사상의 섬유 차원은 특이 콵팩티피케이션의 차원의 절반보다 작으며, 이는 소형 조건을 확인한다.