[논문 리뷰] The Lifshits--Krein trace formula and operator Lipschitz functions

V. V. Peller|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 04.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 6인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 자기수반 연산자 A와 B에 대해 A−B가 추적 클래스에 속할 때, Lifshits–Krein 추적 공식이 모든 경우에 성립함과 동시에 함수 f가 연산자 리프시츠 함수일 때이고, 그 조건이 유일하게 필요충분임을 증명한다. 증명은 이중 연산자 적분, 슈어 곱수, 스펙트럼 이동 함수를 사용하며, 연산자 리프시츠 함수는 추적 클래스의 변화에 대해 추적 공식이 항상 성립하는 함수들임을 보여준다.

ABSTRACT

We describe the maximal class of functions $f$ on the real line, for which the Lifshitz--Krein trace formula $\operatorname{trace}(f(A)-f(B))=\int_{\Bbb R} f'(s)\boldsymbolξ(s)\,ds$ holds for arbitrary self-adjoint operators $A$ and $B$ with $A-B$ in the trace class $\boldsymbol{S}_1$. We prove that this class of functions coincide with the class of operator Lipschitz functions.

연구 동기 및 목표

• 모든 자기수반 연산자 A와 B에 대해 A−B가 추적 클래스 S₁에 속할 때 Lifshits–Krein 추적 공식이 성립하는 함수 f의 최대 클래스를 규명하는 것.
• Krein의 질문, 즉 추적 공식이 모든 리프시츠 함수에 대해 성립하는가를 해결하며, 그렇지 않음을 보여주는 것.
• 추적 클래스의 변화에 대해 추적 공식이 항상 성립하기 위해 연산자 리프시츠 함수가 필수적이고 충분한 조건임을 확립하는 것.
• 이중 연산자 적분을 통해 추적 공식을 슈어 곱수 이론과 하아거룹 텐서곱 이론과 연결하는 것.
• 연산자 리프시츠 함수 f에 대해 t ↦ trace(f(A−tI)−f(B−tI))의 연속성을 증명하는 것.

제안 방법

• x≠y일 때 𝔻f(x,y) = (f(x)−f(y))/(x−y), x=y일 때 f′(x)로 정의된 분할 차분 𝔻f(x,y)를 정의하며, 이는 연산자 리프시츠 함수를 특징짓는다.
• 연산자 리프시츠성과 분할 차분이 S₁ 위의 슈어 곱수임이 서로 동치임을 이용한다.
• 이중 연산자 적분 이론을 적용하여 Aₜ = A + tK일 때 f(Aₜ)의 도함수를 힐베르트–슈미트 노름에서 표현한다.
• 도함수 Qₜ = d/dt [f(Aₜ)−f(A)]가 S₁에 속하고 추적 노름에서 일致하게 유계임을 증명한다.
• S₁에서의 보흐너 적분을 사용하여 f(A)−f(B) = −∫₀¹ Qₜ dt를 유도하며, 이로부터 trace(f(A)−f(B)) = −∫₀¹ trace(Qₜ) dt를 유도한다.
• 정리 5.1을 적용하여 trace(Qₜ)를 ∫ℝ f′(x) dνₜ(x)로 표현한다. 여기서 νₜ는 Aₜ의 스펙트럼 사영에 대한 K의 스펙트럼 측도이다.
• 평균화된 측도 ν = ∫₀¹ νₜ dt를 정의하고, ν = −ξ dm임을 보여, 이로부터 추적 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 A−B ∈ S₁인 모든 자기수반 A, B에 대해 Lifshits–Krein 추적 공식이 성립하는 함수 f는 무엇인가?
• RQ2 추적 공식이 성립하는 함수의 집합이 리프시츠 함수의 집합보다 엄밀히 작을까?
• RQ3 추적 클래스의 변화에 대해 추적 공식이 항상 성립하기 위해 연산자 리프시츠 성질이 필수적이고 충분한가?
• RQ4 모든 f에 대해 trace(f(A)−f(B))가 스펙트럼 이동 함수 ξ(s)에 대해 f′(s)의 적분으로 표현될 수 있는가?
• RQ5 t ↦ trace(f(A−tI)−f(B−tI))의 연속성은 f의 연산자 리프시츠 성질과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• A−B ∈ S₁인 모든 자기수반 A, B에 대해 Lifshits–Krein 추적 공식이 성립함과 동시에 f가 연산자 리프시츠 함수일 때에만 성립한다.
• 연산자 리프시츠 함수는 ℝ 전역에서 미분 가능하지만 반드시 C¹이 아니며, x²sin(x⁻¹)와 같은 함수를 포함한다.
• 분할 차분 𝔻f가 S₁ 위의 슈어 곱수일 때이고, 그 조건이 f가 연산자 리프시츠 함수일 때에만 성립한다.
• f ∈ OL(ℝ)이면, 모든 A, B에 대해 추적 공식 trace(f(A)−f(B)) = ∫ℝ f′(s)ξ(s) ds가 항상 성립한다.
• 모든 f ∈ OL(ℝ)에 대해 t ↦ trace(f(A−tI)−f(B−tI))는 스펙트럼 측도의 약한-* 연속성으로 인해 ℝ 위에서 연속적이다.