[논문 리뷰] The Limit of the Empirical Measure of the Product of Two Independent Mallows Permutations

Ke Jin|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 01.

Random Matrices and Applications참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 독립적인 말로우 순열의 경험 측도가 특정 밀도를 가진 극한 확률 측도로 거의 확실히 약한 수렴을 한다고 규명한다. 조건 $ n(1 - q_n) \to \beta $ 하에서 渐近 분석을 통해 극한 밀도가 두 개의 말로우 유형 밀도의 콘볼루션으로 나타남을 도출하며, 랜덤 순열 이론에서의 곱 측도 수렴에 있어 비자명한 예를 제공한다.

ABSTRACT

The Mallows measure is a probability measure on $S_n$ where the probability of a permutation $π$ is proportional to $q^{l(π)}$ with $q > 0$ being a parameter and $l(π)$ the number of inversions in $π$. We show the convergence of the random empirical measure of the product of two independent permutations drawn from the Mallows measure, when $q$ is a function of $n$ and $n(1-q)$ has limit in $\mathbb{R}$ as $n o \infty$.

연구 동기 및 목표

• n \to \infty 일 때 두 독립적인 말로우 순열의 곱에 의해 유도되는 경험 측도의 약한 수렴을 확립하는 것.
• n(1 - q_n) \to \beta \in \mathbb{R} 인 영역에서 곱 순열의 극한 확률 측도를 특성화하는 것.
• 이전의 단일 말로우 순열 결과를 곱의 경우로 확장하여, 명시적인 극한 행동을 보이는 비.i.i.d. 순열 모델의 새로운 클래스를 제공하는 것.
• 두 독립적인 말로우 순열에서의 최장 공통 부분수열을 연구하기 위한 이론적 기초를 제공하는 것.
• 경험 측도가 약한 수렴하는 조건을 탐구하며, 랜덤 순열의 극한에 관한 일반적인 질문들에 기반한다.

제안 방법

• q_n가 1에 수렴하는 속도가 1 - \frac{\beta}{n} 인 경우 S_n 상의 말로우 측도의 渐近 행동을 분석한다. 여기서 \beta \in \mathbb{R} 이다.
• 단일 말로우 순열에 대한 스타르의 결과에서 유도된 명시적 밀도 u(x, y, \beta) 를 극한 분포로 사용한다.
• 함수형식 \frac{\pi(i)}{n} 의 기대값과 공분산에 대한 균일한 경계를 활용한, 모멘트 수렴에 기반한 새로운 접근법을 적용한다.
• 독립적인 말로우 순열 \pi, \tau 가 매개변수 q_n, q_n' 을 가질 때 곱 순열 \tau \circ \pi 의 극한 밀도 \rho(x, y) = \int_0^1 u(x, t, \beta) \cdot u(t, y, \gamma) \, dt 를 유도한다.
• 기대값의 균일 수렴과 공분산의 소멸을 통해 경험 측도의 약한 수렴을 증명한다.
• 말로우 측도의 대수적·확률적 구조를 활용한 핵심 보조정리 및 보조정리들(Lemma 1, Lemma 2, Lemma 3, Proposition 3)에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n(1 - q_n) \to \beta 일 때, 두 독립적인 말로우 순열의 곱에 대한 경험 측도가 n \to \infty 에서 약한 수렴하는가?
• RQ2 스케일링 극한에서 곱 순열의 극한 확률 측도의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 극한 측도는 두 말로우 순열의 개별 극한 밀도의 콘볼루션으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 개별 순열이 알려진 극한으로 수렴할 때, 곱 순열의 경험 측도가 약한 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 단일 말로우 순열의 경험 측도의 약한 수렴은 거의 확실한가, 아니면 단지 확률적으로만인가?

주요 결과

• 매개변수 q_n, q_n' 을 가진 두 독립적인 말로우 순열 \pi, \tau 에 대해 곱 \tau \circ \pi 의 경험 측도는 확률적으로 극한 측도로 약한 수렴하며, 그 밀도는 \rho(x, y) = \int_0^1 u(x, t, \beta) \cdot u(t, y, \gamma) \, dt 이다.
• 극한 밀도 \rho(x, y) 는 개별 극한 밀도 u(x, y, \beta) 와 u(x, y, \gamma) 의 복합화로 표현되며, 대칭군의 군 구조를 반영한다.
• 모든 연속 함수 f: [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{R} 에 대해 정규화된 합 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left( \frac{i}{n}, \frac{\tau \circ \pi(i)}{n} \right) 는 \int_0^1 \int_0^1 f(x, y) \rho(x, y) \, dx \, dy 로 확률적으로 수렴한다.
• 수렴은 색인 i 에 대해 균일하며, i \neq j 일 때 f(\pi(i)/n) 과 f(\pi(j)/n) 의 공분산은 균일하게 소멸하여 渐近 무상관성을 나타낸다.
• 결과적으로 이는 종속된 랜덤 순열의 곱에 대해 약한 수렴이 비자명하게 성립함을 보여주며, 개별 순열은 독립적이지만 곱의 수렴은 비독립적 성격을 띤다.
• 극한 측도 \rho(x, y) 는 \beta = \gamma = 0 이 아닐 경우 곱 측도가 아니며, 극한에서 비자명한 의존성이 존재함을 보여준다.