[논문 리뷰] The limit to rarefaction wave with vacuum for 1D compressible fluids with temperature-dependent viscosities

Mingjie Li, Teng Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 12.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 온도에 의존하는 점성 및 열전도도를 갖는 1차원 압축성 라우지에르-스토크스 방정식의 영점 점성 극한을 수립하며, 점성과 열전도도가 소멸할 때 해가 진공을 가진 압축파로 수렴함을 증명한다. 수렴은 균일하며, 진공 영역에서의 비선형성에도 불구하고 정밀한 사전 추정을 통해 수렴 속도가 정량화되어 있다.

ABSTRACT

In this paper we study the zero dissipation limit of the one-dimensional full compressible Navier-Stokes(CNS) equations with temperature-dependent viscosity and heat-conduction coefficient. It is proved that given a rarefaction wave with one-side vacuum state to the full compressible Euler equations, we can construct a sequence of solutions to the full CNS equations which converge to the above rarefaction wave with vacuum as the viscosity and the heat conduction coefficient tend to zero. Moreover, the uniform convergence rate is obtained. The main difficulty in our proof lies in the degeneracies of the density, the temperature and the temperature-dependent viscosities at the vacuum region in the zero dissipation limit.

연구 동기 및 목표

• 온도에 의존하는 점성 및 열전도도를 갖는 완전한 압축성 라우지에르-스토크스 방정식의 영점 점성 극한을 정당화하는 것.
• 한쪽 면이 진공인 압축파 해에 대해 점성 해가 오일러 방정식의 압축파 해로 수렴하는 방식을 분석하는 것.
• 영점 근처에서 밀도, 온도, 점성이 분해되는 것을 극복하는 것.
• 진공 상태에서 발생하는 특이성과 분해성 존재 속에서 균일한 수렴 속도를 확립하는 것.
• 물리적, 온도에 의존하는 점성 및 열전도 계수를 갖는 완전한 압축성 유체 시스템으로 영점 점성 극한의 타당성을 확장하는 것.

제안 방법

• εμ(θ) = θ^α 및 εκ(θ) = θ^α를 갖는 완전한 압축성 라우지에르-스토크스 방정식을 풀어 진공이 포함된 압축파에 대한 점성 근사 구축하기.
• 문제를 라그랑주 좌표계에서의 이동 경계 문제로 줄이기 위해 라그랑주 변환 사용하기.
• 진공 근처에서 해의 행동을 제어하기 위해 가중치를 부여한 소볼레프 공간에서 사전 추정 적용하기.
• 철저한 보간과 가중치를 부여한 L² 추정을 통해 해와 그 도함수에 대한 균일한 유계성 확보하기.
• 일치하는 점근 해석과 에너지 추정을 활용하여 사전 추정을 검증하고 국소 해를 시간에 따라 전역적으로 연장하기.
• L^∞ 노름과 ε에 대한 로그 보정을 사용하여 점성 해와 극한 압축파를 비교함으로써 수렴 속도 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 온도에 의존하는 점성 및 열전도도를 갖는 완전한 압축성 라우지에르-스토크스 방정식에 대해 영점 점성 극한을 정당화할 수 있는가?
• RQ2 점성과 온도의 분해가 발생하는 진공 영역에서 해는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 ε → 0⁺ 일 때, 점성 해가 진공을 가진 압축파로 수렴하는 균일한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 진공 초깃값을 갖는 압축파에 대해 점성 시스템의 해의 전역 존재성을 확보할 수 있는가?
• RQ5 온도에 의존하는 점성 및 열전도도는 영점 점성 극한의 수렴성과 안정성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 점성 해가 점성 및 열전도 계수의 극한에서 진공을 가진 압축파로 균일하게 수렴한다.
• a = (24γ + 16α(γ-1) - 3) / (12(18γ + 12α(γ-1))) 이며, γ > 1은 다이아바틱 계수, α > 0은 온도 의존성 계수일 때, ε^a |ln ε| 순서의 균일한 수렴 속도가 확립된다.
• ε > 0 이며 고정된 작은 값에 대해 점성 시스템의 해의 전역 존재성이 증명되었으며, 사전 추정을 통해 국소 해를 무한 시간으로 연장하였다.
• 진공 영역에서의 밀도, 온도, 점성의 분해는 가중치를 부여한 에너지 추정과 보간 기법을 통해 다루어졌다.
• 운동량과 총 에너지의 수렴 역시 동일한 속도로 이루어지며, 상태 변수의 전반적인 수렴을 확인하였다.
• 사전 추정이 初기 가정보다 더 강력하여, 국소 해를 시간에 따라 전역 해로 연장할 수 있었다.