[논문 리뷰] The linear complexity of new binary cyclotomic sequences of period $p^n$

Vladimir Edemskiy|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 11.

Coding theory and cryptography인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 소수 $p$가 홀수이자 $2^{p-1} \not\equiv 1 \pmod{p^2}$를 만족할 때, 주기 $p^n$인 새로운 이진 순환수열의 선형 복잡도에 대한 색오 등의 추측을 증명한다. $p^n$ 모듈로의 원시 근을 기반으로 한 일반화된 순환류를 사용하여, 선형 복잡도에 대한 정확한 공식을 유도한다: $2 \in D_0^{(p)}$이면 $L = p^n - \frac{p-1}{2} - \delta\left(\frac{p^n+1}{2}\right)$, 그렇지 않으면 $L = p^n - \delta\left(\frac{p^n+1}{2}\right)$로 표현되며, 이는 주기와 가까운 높은 선형 복잡도를 보인다.

ABSTRACT

In this paper, we determine the linear complexity of a class of new binary cyclotomic sequences of period pn constructed by Z. Xiao et al. (Des. Codes Cryptogr. DOI 10.1007/s10623-017-0408-7) and prove their conjecture about high linear complexity of these sequences.

연구 동기 및 목표

• Xiao 등이 제기한 주기 $p^n$인 새로운 이진 순환수열의 선형 복잡도에 관한 추측을 해결하기 위해.
• 조건 $2^{p-1} \not\equiv 1 \pmod{p^2}$ 하에서 이러한 수열의 선형 복잡도에 대한 정확한 공식을 수립하기 위해.
• 이 수열들이 높은 선형 복잡도를 지님으로써 스트림 암호와 같은 암호학적 응용에 적합함을 보여주기 위해.
• 이전의 일반화된 순환수열에 관한 결과를 $p^n$의 고차항까지 확장하고 통합된 대수적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 원시 근 modulo $p^2$를 기반으로 한 순환류의 차수 $d_j = \varphi(p^j)/e$에 기반한 일반화된 순환류를 사용하여 이진 수열을 구성한다. 이를 $p^n$으로 확장한다.
• 순환류의 코셋을 통해 특성 집합 $\mathcal{C}_0^{(p^n)}$ 및 $\mathcal{C}_1^{(p^n)}$을 정의하며, 이는 이동 파rameter $b$와 $f=2^r$를 포함한다.
• 생성 다항식 $S(x)$의 $\mathbb{F}_2$에서의 근을 분석함으로써 Berlekamp-Massey 알고리즘 프레임워크를 적용한다.
• 트레이스 성질과 동차 다항식 $T^{(p^m)}_i(x)$를 이용하여 $\mathbb{F}_2(\alpha_{m-1})$에서 $\mathbb{F}_2(\alpha_m)$로 근을 재귀적으로 올린다.
• 귀납법과 체 확장 차수의 논증을 통해 $[\mathbb{F}_2(\alpha_m) : \mathbb{F}_2(\alpha_{m-1})] < p$임을 보이며, 이는 $2 \in D_0^{(p)}$ 조건을 만족하지 않을 경우 모순을 초래함을 의미한다.
• 이미 알려진 $\mathbb{F}_2(\alpha_1)$에서의 $T^{(p)}_i(x)$ 결과를 활용하여, 높은 수준 $p^n$으로의 근 수를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Xiao 등이 구성한 주기 $p^n$인 새로운 이진 순환수열의 정확한 선형 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 조건 $2^{p-1} \not\equiv 1 \pmod{p^2}$ 하에서 이 수열이 높은 선형 복잡도를 갖는다는 추측은 성립하는가?
• RQ3 2가 제로 순환류 $D_0^{(p)}$에 속해 있는 것이 선형 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 선형 복잡도는 $p^n$, $p$, 그리고 $(p^n+1)/2$의 기수성에 따라 통일된 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ5 구조와 복잡도에 영향을 주는 매개변수 $f=2^r$의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 2 \in D_0^{(p)}이면 선형 복잡도는 $L = p^n - \frac{p-1}{2} - \delta\left(\frac{p^n+1}{2}\right)$이며, 여기서 $\delta(t) = 1$이면 $t$가 짝수이고, 0이면 홀수이다.
• 2 \not\in D_0^{(p)}이면 선형 복잡도는 $L = p^n - \delta\left(\frac{p^n+1}{2}\right)$로 표현되며, $p^n+1$이 짝수일 경우 복잡도가著히 감소함을 보여준다.
• 선형 복잡도는 항상 $p^n - \frac{p-1}{2}$ 이상이므로, 이는 전체 주기 $p^n$과 매우 가까운 것으로, 강력한 암호학적 강도를 의미한다.
• 증명는 $T^{(p^n)}_b(\alpha_n^i) \in \{0,1\}$이 되는 인덱스 $i$의 수가 순환류 소속성에 따라 제어된 범위 내에만 존재함을 보여주는데 기반한다.
• 이 결과는 알려진 위파이히어 프라임인 1093과 3511를 제외한 모든 홀수 소수 $p < 6.7 \times 10^{15}$에 대해 성립한다.
• 분석 결과 수열은 거의 균형 잡혀 있으며, $|\mathcal{C}_1^{(p^n)}| = (p^n + 1)/2$이며, 주어진 조건 하에서 선형 복잡도가 최대화됨을 확인한다.