[논문 리뷰] The linear Tur\'an number of the k-fan

Zoltán Füredi, András Gyárfás|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 09.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $k$-fan 초그래프에 대한 정확한 선형 툴란 수를 확립하며, $n$개의 정점을 가진 $k$-균일 선형 초그래프에서 $k$-fan 부분초그래프를 포함하지 않는 경우의 간선 수 최댓값이 $n^2/k^2$임을 증명한다. 이 값은 $n \equiv 0 \pmod{k}$이면서 초그래프가 $k$개의 그룹을 가진 횡단 설계인 경우에만 도달된다. 또한 $k=3$인 경우의 최적 구성에 대해 특성화하고, $P$ 및 $C_{14}$와 같은 금지 구성 요소로 확장하여, 이러한 구성 요소를 제거할 경우에도 선형 툴란 수가 $n^2/9$로 유지됨을 보여준다.

ABSTRACT

A hypergraph is linear if any two edges intersect in at most one vertex. For a fixed $k$-uniform family ${\\cal{F}}$ of hypergraphs, the linear Tur\\'an number ${\ m ex}_{\ m lin}(n,{\\cal{F}})$ is the maximum number of edges in a $k$-uniform linear hypergraph $\\mathcal H$ on $n$ vertices that does not contain any member of ${\\cal{F}}$ as a subhypergraph. For $k\\ge 2$ the $k$-fan $F^k$ is the $k$-uniform linear hypergraph having $k$ edges $f_1,\\dots,f_k$ pairwise intersecting in the same vertex $v$ and an additional edge $g$ intersecting all $f_i$ in a vertex different from $v$. We prove the following extension of Mantel's theorem $${\ m ex}_{\ m lin}(n,F^k)\\le {n^2 / k^2}.$$ Moreover, $|{\\mathcal H}|=n^2/k^2$ holds if and only if $n\\equiv 0\\pmod k$ and $\\mathcal H$ is a transversal design on $n$ points with $k$ groups. We also study ${\ m ex}_{\ m lin}(n,{\\cal{F}})$ where $\\cal{F}$ is any subset of the three linear triple systems with four triples on at most seven points.

연구 동기 및 목표

• 금지된 $k$-fan 초그래프에 대한 정확한 선형 툴란 수 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k)$를 결정한다. 이는 $k$개의 간선이 공통 정점을 공유하고, 추가로 한 개의 간선이 이들 모두와 서로 다른 정점에서 만날 수 있는 $k$-균일 선형 초그래프이다.
• 이 수치에 도달하는 최적의 초그래프를 특성화하며, $n \equiv 0 \pmod{k}$일 때 정확히 $k$개의 동일한 크기의 그룹을 가진 횡단 설계임을 보여준다.
• $k=3$의 경우 분석을 확장하여, $n \equiv 2 \pmod{3}$일 때 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^3)$를 결정하고, 모든 최적의 삼중 시스템을 규명한다.
• 여러 구성 요소—$F^3$, $P$, $C_{14}$—를 동시에 금지할 경우 선형 툴란 수를 조사하며, 이 경우에도 무한히 많은 $n$에 대해 최적 수치가 $n^2/9$로 유지됨을 보여준다.

제안 방법

• 간선 상호작용에 대한 극한 초그래프 이론과 이중 세기 기법을 사용하여 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k)$에 대한 상한 $n^2/k^2$을 증명한다.
• 등호가 성립하는 조건이 초그래프가 $k$개의 그룹을 가진 횡단 설계 $T(n,k)$일 때에만 성립함을 보이며, 선형 초그래프의 성질과 그룹 분할의 특성을 활용한다.
• 특히 $n = k(m+1) - 1$일 때, $T(n+1,k)$에서 유도된 잘라낸 횡단 설계를 사용하여 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k) \leq m^2 + m$임을 증명한다.
• 특히 완전 이분 그래프 $K_{2^m,2^m}$의 1-요소 분해 기법을 활용하여, $F^3$, $P$, $C_{14}$를 모두 피하는 최적의 삼중 시스템을 구성한다.
• 표준 방법을 적용하여, 최소한 $2/9$의 간선을 포함하는 3-분할 부분초그래프를 선택함으로써 선형 툴란 수와 고전적 툴란 수를 연결한다.
• 기존의 스테이너 삼중 시스템 및 구성 이론 결과를 활용하여, $n = 3 \cdot 2^m$일 때 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, \{F^3, P, C_{14}\}) = n^2/9$임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 금지된 $k$-fan 초그래프에 대해 선형 툴란 수 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k)$의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ2 최적 초그래프가 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k)$에 도달하기 위해 $k$개의 그룹을 가진 횡단 설계가 되는 $n$과 $k$는 무엇인가?
• RQ3 만일 $n \equiv 2 \pmod{3}$일 때, $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^3)$에 대한 최적 초그래프는 완전히 특성화될 수 있는가?
• RQ4 여러 작은 구성 요소—$F^3$, $P$, $C_{14}$—를 동시에 금지할 경우 선형 툴란 수는 어떻게 되는가?
• RQ5 금지된 구성 요소에 대한 선형 툴란 수는 고전적 툴란 수 $F(7,4)$와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 모든 $k \geq 2$ 및 모든 $n$에 대해 선형 툴란 수 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k)$는 $n^2/k^2$ 이하로 제한되며, 등호가 성립하는 것은 $n \equiv 0 \pmod{k}$이면서 최적 초그래프가 $k$개의 그룹을 가진 횡단 설계일 때에만 성립한다.
• $n = k(m+1) - 1$일 때, 선형 툴란 수 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k)$는 $m^2 + m$ 이하이며, 최적 초그래프는 $T(n+1,k)$에서 유도된 잘라낸 횡단 설계이다.
• $n = 3m + 2$일 때, 최적 수치 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^3)$는 정확히 $m^2 + m$이며, 유일한 최적 삼중 시스템은 잘라낸 횡단 설계에서 유도된 것 또는 특정 그래프 확장에서 유도된 것이다.
• $n = 6m + 3$일 때, 선형 툴란 수 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, \{F^3, P\})$는 $n^2/9$와 같다. 이는 $P$를 금지해도 $F^3$-자유 조건에서의 최적 수치를 초과하지 않음을 보여준다.
• $n = 3 \cdot 2^m$일 때, 선형 툴란 수 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, \{F^3, C_{14}\})$는 정확히 $n^2/9$이며, 이는 $K_{2^m,2^m}$의 1-요소 분해로부터 유도된 횡단 설계에 의해 달성된다.
• 선형 툴란 수 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, \{F^3, P, C_{14}\})$는 점근적으로 $n^2/9$와 동치이며, 이 값은 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, \{P, C_{14}\})$의 최대값과 상수 인자 범위 내에서 동일하며, 이는 고전적 툴란 수 $F(7,4)$와 연결된다.