[논문 리뷰] The Liu-Yau mass as a good quasi-local energy in general relativity

Niall Ó Murchadha|ArXiv.org|2007. 06. 08.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 구형 대칭 두차원 표면 기하구조를 생성하는 데 필요한 최소 에너지를 나타내며, 일반 상대성 이론에서 리우-요우 질량이 물리적으로 의미 있는 준국소적 에너지임을 입증함으로써, 내부 에너지 내용을 보다 잘 반영하는 데서 브라운-요우 에너지보다 뛰어난 성능을 발휘함을 보여준다. 리우-요우 질량은 양수이며 渐近적으로 ADM 질량에 수렴하며, 특히 정적 또는 구형 대칭 시공간에서 내부에 대한 유일한 정보를 제공한다.

ABSTRACT

A quasi-local mass has been a long sought after quantity in general relativity. A recent candidate has been the Liu-Yau mass. One can show that the Liu-Yau mass of any two-surface is the maximum of the Brown-York energy for that two-surface. This means that it has significant disadvantages as a mass. It is much better interpreted as an energy and I will show one way of doing so. The Liu-Yau mass is especially interesting in spherical geometries, where mass and energy are indistinguishable. For a spherical two-surface, it equals the minimum of the amount of energy at rest that one needs to put inside the two-surface to generate the given surface geometry. Thus it gives interesting information about the interior, something no other mass or energy function does.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론에서 리우-요우 질량이 물리적으로 의미 있는 준국소적 에너지임을 확립하기 위해.
• 부정적인 값을 가질 수 있고 내부 에너지 내용을 반영하지 못하는 브라운-요우 에너지의 단점을 해결하기 위해.
• 리우-요우 질량이 구형 대칭 시공간에서 주어진 두차원 표면 기하구조를 생성하는 데 필요한 최소 에너지를 나타냄을 입증하기 위해.
• 리우-요우 질량이 渐近적으로 ADM 에너지-운동량에 수렴하고 띠어진 보존에 대해 올바른 변환을 보임을 보여주기 위해.
• 다른 준국소적 질량들과 달리 리우-요우 질량이 시공간의 내부에 대해 고유한 정보를 제공함을 주장하기 위해.

제안 방법

• 리우-요우 질량은 적분 $ 8\tau M_{LY} = \int (\sqrt{\rho_0\mu_0} - \sqrt{\rho\mu}) \, dA $ 로 정의되며, 여기서 $ \rho, \mu $ 는 두차원 표면의 영향을 받는 빛의 전개이다.
• 이 방법은 두차원 표면을 평탄한 3차원 공간에 등장시키는 임bedding을 통해 기준량 $ \rho_0, \mu_0 $ 를 정의하는 데 의존한다.
• 리우-요우 질량은 특히 구형 대칭에서 주어진 표면 기하구조를 생성하기 위해 필요한 최소 정지 에너지로 해석된다.
• 저자들은 리우-요우 질량을 브라운-요우 에너지와 비교하여, 동일한 표면에 대해 리우-요우 질량이 항상 브라운-요우 에너지보다 크거나 같음을 보였다.
• 미래 및 과거 빛의 전개가 동일한 선정된 3-슬라이스가 선택되어 에너지-운동량 정의가 일관되게 가능해진다.
• 결과적으로 리우-요우-브라운-요우 에너지-운동량은 渐近적으로 ADM 에너지-운동량에 수렴하며, 渐近적 근처에서 $ E^2 > P^2 $ 를 만족함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리우-요우 질량은 시공간의 내부 에너지 내용을 반영하는 물리적으로 의미 있는 준국소적 에너지로 해석될 수 있는가?
• RQ2 왜 브라운-요우 에너지는 곡률이 있거나 이동하는 슬라이스에서 내부 에너지를 반영하지 못하는가?
• RQ3 구형 대칭 시공간에서 리우-요우 질량은 바르트니크나 미즈너-샤프 질량과 같은 다른 준국소적 질량과 어떻게 비교되는가?
• RQ4 리우-요우 질량은 주어진 두차원 표면 기하구조를 생성하기 위해 필요한 총 에너지의 하한을 제공하는가?
• RQ5 리우-요우 질량은 올바른 渐近적 성질과 로렌츠 변환 성질을 갖는 전체 에너지-운동량 4벡터로 일관되게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 리우-요우 질량은 주어진 구형 대칭 두차원 표면 기하구조를 생성하기 위해 필요한 최소 정지 에너지로서, 내부 에너지를 유일하게 측정하는 데 기여한다.
• 구형 대칭에서 리우-요우 질량은 엄격히 양수이며, 표면 반지름이 감소할수록 증가하여 점점 깊어지는 중력 잠재력의 영향을 반영한다.
• 리우-요우 질량은 큰 표면의 극한에서 渐近적으로 ADM 에너지-운동량에 수렴하여, 기존의 전역 에너지 정의와의 일관성을 확보한다.
• 동일한 두차원 표면에 대해 리우-요우 질량은 항상 브라운-요우 에너지보다 크거나 같으며, 후자의 물리적으로 부적절한 음수 값을 피한다.
• 진공 시공간에서 리우-요우 질량은 중력파 에너지로 인해 0이 아닐 수 있지만, 정적 또는 구형 대칭의 경우 물질이나 곡률의 존재를 반영한다.
• 제안된 리우-요우-브라운-요우 에너지-운동량 구성은 양수이며, 무한대에서 渐近적으로 ADM 4운동량에 수렴하며, $ E^2 - P^2 \approx M^2_{ADM} $ 를 만족한다.