[논문 리뷰] The local entropy along Ricci flow---Part B: the pseudo-locality theorems

Bing Wang|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 20.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 68인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 페렐만의 작업에 영감을 얻어 국소화된 엔트로피 함수를 도입하고 리치 흐름에 대해 리-요우 추정을 사용하여, 리치 흐름의 국소적 붕괴 방지 및 가짜 국소성 정리의 일반화를 수행한다. 국소화된 $\nu$-기능에 기반한 초기 메트릭 조건을 통해 곡률, 체적, 그리고 임의의 반경의 경계를 설정하고, 초기 자료에 대한 연속성과 복소다양체에서 유계한 스칼라 곡률을 가진 경우의 컴팩턴스 결과를 도출한다.

ABSTRACT

We localize the entropy functionals of G. Perelman and generalize his no-local-collapsing theorem and pseudo-locality theorem. Our generalization is technically inspired by further development of Li-Yau estimates along the Ricci flow. It has various applications, including to show the continuous dependence of the Ricci flow with respect to the initial metric in Gromov-Hausdorff topology with Ricci curvature bounded below, and to show the compactness of the moduli of Kähler manifolds with bounded scalar curvature and a rough locally almost Euclidean condition.

연구 동기 및 목표

• 페렐만의 국소적 붕괴 방지 및 가짜 국소성 정리를 국소화된 엔트로피 함수를 사용하여 일반화하기.
• 공간-시간 곡률 조건을 $\tilde{N}$-기능에 기반한 초기 메트릭 조건으로 대체하기.
• 리만 기하학적 공간에서 초기 자료에 대한 리치 흐름의 연속성 증명을 그로모프-하우스도르프 위상에서 수행하기.
• 유계한 스칼라 곡률과 거의 유클리드 체적 비율을 가진 켈러 다양체의 모듈리 공간의 컴팩턴스를 증명하기.
• 국소화된 엔트로피의 단조성으로 기존의 가짜 국소성 정리를 통합하고 강화하기.

제안 방법

• 초기 메트릭 내의 공에 국한된 페렐만의 $\mu$ 및 $\nu$ 기능을 정의하여 국소화된 엔트로피를 도입한다.
• 리-요우 형 추정을 사용하여 리치 흐름에 沿해 국소화된 함수에 대한 효과적인 단조성 공식을 유도한다.
• 초기 조건으로 $\nu$-기능을 포함: $\boldsymbol{\nu}\left(B_{g(0)}(x_0,\delta^{-1}\sqrt{T}),g(0),T\right)\geq -\delta^2$.
• 곡률 경계 $t|Rm|(x,t)\leq\alpha$, 체적 비율 경계 $\rho^{-m}|B_{g(t)}(x,\rho)|\geq(1-\alpha)\omega_m$, 그리고 임의의 반경 경계 $t^{-1/2}\cdot\mathrm{inj}(x,t)\geq\alpha^{-1}$ 를 유도한다.
• 결과를 적용하여 리치 흐름의 초기 자료에 대한 연속성과 켈러 다양체의 모듈리 공간의 컴팩턴스를 증명한다.
• 등각적 사상 이론과 정규성 조건을 사용하여 등각적 구조가 등각적 극한 하에서 매끄럽다는 것을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가짜 국소성 정리를 공간-시간 곡률 경계 대신 초기 메트릭 조건만으로 증명할 수 있는가?
• RQ2 켈러 및 리만 다양체에 대한 엔트로피 갭 정리에서의 최적 갭 상수는 무엇인가?
• RQ3 안정성 정리에서 리치 곡률 하한 조건을 국소화된 엔트로피 조건으로만 대체할 수 있는가?
• RQ4 $\nu$-기능이 파노 및 구형 유사 다양체에서 리치 흐름의 장기적 행동과 수렴성을 제어하는가?
• RQ5 유계한 스칼라 곡률을 가진 켈러 다양체의 모듈리 공간의 컴팩턴스는 엔트로피 경계를 통해 확립될 수 있는가?

주요 결과

• 개선된 가짜 국소성 정리는 이전 가정보다 더 약한 조건인 초기 조건 $\boldsymbol{\nu}\left(B_{g(0)}(x_0,\delta^{-1}\sqrt{T}),g(0),T\right)\geq -\delta^2$ 하에서도 성립한다.
• 모든 $\alpha \in (0, \frac{1}{100m})$ 에 대해 $\delta = \delta(\alpha,m)$ 가 존재하여 곡률, 체적, 임의의 반경 경계가 크기 $\sim (\delta r_0)^2$ 의 공간-시간 영역에서 성립한다.
• 조건 $\boldsymbol{\nu}(B_{g(0)}(x_0,\delta^{-1}\sqrt{T}),g(0),T)\geq -\delta^2$ 는 $t \in (0,T]$ 에 대해 $t|Rm|(x,t)\leq\alpha$, $\rho^{-m}|B_{g(t)}(x,\rho)|\geq(1-\alpha)\omega_m$, 그리고 $t^{-1/2}\cdot\mathrm{inj}(x,t)\geq\alpha^{-1}$ 를 암시한다.
• 논문은 유계한 리치 곡률과 엔트로피 조건 하에서 리치 흐름의 초기 자료에 대한 연속성을 그로모프-하우스도르프 위상에서 증명한다.
• 유계한 스칼라 곡률과 약간의 지역적 거의 유클리드 조건을 가진 켈러 다양체의 모듈리 공간의 컴팩턴스는 엔트로피 제어를 통해 확립된다.
• 논문은 $\boldsymbol{\nu}(M,g) > \boldsymbol{\nu}(\mathbb{CP}^n,g_{FS}) - \epsilon$ 이면 $\mathbb{CP}^n$ 과의 동형사상이 존재하고, 정규화된 리치 흐름이 지수적으로 수렴한다는 추측을 제기한다.