[논문 리뷰] The Local Hamiltonian problem on a line with eight states is QMA-complete

Sean Hallgren, Daniel Nagaj외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 5인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 1차원 국소 해밀토니안 문제의 QMA-완전성은 8 상태의 큐디트로 제한되어도 유지됨을 증명한다. 이는 이전의 13 상태로의 상한을 낮춘 것이다. 저자들은 역사 상태 인코딩을 사용한 양자 검증 회로를 구성하고, 정밀하게 설계된 국소 해밀토니안을 활용한 펌터베이티브 기구 구축 기법을 통해 1D 체인에서 8레벨 큐디트만을 사용하여 QMA-완전 문제를 시뮬레이션한다. 이는 낮은 차원의 공간적으로 국소적인 설정에서도 계산의 난이도가 유지됨을 입증한다.

ABSTRACT

The Local Hamiltonian problem is the problem of estimating the least eigenvalue of a local Hamiltonian, and is complete for the class QMA. The 1D problem on a chain of qubits has heuristics which work well, while the 13-state qudit case has been shown to be QMA-complete. We show that this problem remains QMA-complete when the dimensionality of the qudits is brought down to 8.

연구 동기 및 목표

• 1D에서 QMA-완전성에 필요한 큐디트 상태 수를 줄임으로써 기존의 QMA-완전성 결과와 저차원 양자 시스템의 물리적 실현 가능성 사이의 격차를 메우기 위해.
• 큐디트의 수를 8레벨로 제한하더라도 1D 국소 해밀토니안 문제의 계산 난이도가 유지됨을 보여주며, 이는 이전의 13상태 상한을 향상시키기 위함이다.
• 1D 체인에서만 국소 상호작용을 사용하고 공간적으로 제약된 아키텍처를 활용하여 QMA-완전 문제를 8레벨 큐디트로 인코딩할 수 있는 물리적으로 타당한 공간적으로 국소적인 해밀토니안을 구성하기 위해.
• 장거리 상호작용이 없고 큐디트 차원 수가 최소화된 조건에서도 난이도가 유지됨을 보여주며, 이는 실험적 양자 시뮬레이션과 관련이 있다.

제안 방법

• 큐디트의 시간에 따른 진화 상태를 초위상 상태로 표현하는 키타에프의 역사 상태 구성 기법을 사용하여, 8상태 큐디트로 이루어진 1D 체인에 양자 검증 회로를 임bedding한다.
• 정확한 진화를 강제하고 불법 구성 상태는 에너지 갭을 통해 퇴치하는 국소 해밀토니안을 사용한 펌터베이티브 기구 구축 기법을 설계한다.
• 모든 불법 구성 상태(국소적으로 탐지되지 않는 것 포함)가 다항 시간 이내에 국소적으로 탐지 가능한 상태로 진화하도록 전이 시스템을 설계하여, 에너지 페널티가 효과적으로 작용하도록 보장한다.
• 서브스페이스 분석을 통해 유효한 구성, 국소적으로 탐지 가능한 불법 구성, 탐지 불가능한 불법 구성에 해당하는 부분공간을 분석함으로써 전체 해밀토니안의 기저 상태 에너지를 제한하기 위해 프로젝션 보조정리를 적용한다.
• 특정 경계 조건을 갖는 선형 위상에서의 양자 워크 해밀토니안을 사용하여 탐지 불가능한 불법 부분공간의 최저 고유값을 제한하며, 이 값이 O(1/poly(n))의 척도로 증가함을 보여준다.
• 전체 에너지 갭이 0에서 벗어나도록 보장하기 위해 결합 강도(J_prop 및 J_pen)를 n에 대해 다항식으로 설정함으로써 QMA-완전성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큐디트 차원 수를 8로 줄였을 때, 최근접 이웃 상호작용을 갖는 1D 국소 해밀토니안 문제는 QMA-완전한가?
• RQ2 1D 체인에서 8레벨 큐디트만을 사용하고 국소 상호작용과 공간적으로 제약된 아키텍처를 활용하여 QMA-완전 문제를 인코딩할 수 있는가?
• RQ3 큐디트 상태 수를 최소화했을 때도 1D 국소 해밀토니안 문제의 QMA-완전성은 유지되는가? 이는 물리적으로 실현 가능한 수준에 가까워진다.
• RQ4 1D 양자 시스템에서 국소적으로 탐지되지 않는 불법 구성 상태를 국소 규칙을 통해 체계적으로 탐지 가능한 상태로 진화시킬 수 있는가? 이는 효과적인 에너지 페널티를 보장한다.

주요 결과

• 8상태 큐디트를 사용하는 1D 국소 해밀토니안 문제는 QMA-완전하며, 이는 이전의 13상태로의 상한을 낮춘 것이다.
• 이 구성은 역사 상태를 통한 1D 체인에서 8레벨 큐디트만을 사용하여 유니버설 양자 계산을 시뮬레이션하는 펌터베이티브 기구 접근법을 사용한다.
• 모든 불법 구성 상태, 국소적으로 탐지되지 않는 것 포함, 다항 시간 이내에 국소적으로 페널티를 받는 구성 상태로 진화하여 효과적인 에너지 갭이 보장된다.
• 탐지 불가능한 불법 부분공간의 최저 고유값은 O(1/poly(n))으로 제한되며, 적절한 결합 강도를 선택함으로써 무시할 수 있을 정도로 작게 만들 수 있다.
• 전체 해밀토니안의 기저 상태 에너지는 '예' 인스턴스의 경우 임계값 a 이하이며, '아니요' 인스턴스의 경우 최소 1/poly(n) 이상으로 유지되어 프ом프스 갭이 유지된다.