[논문 리뷰] The local Langlands conjecture for the $p$-adic inner form of Sp(4)

Kwangho Choiy|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 04.

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한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 내부 형식 $\mathrm{Sp}_{1,1}$에 대한 국소 랭랜즈 추측을 $\mathrm{GSp}_{1,1}$에서의 $L$-패키지 제약을 통해 증명한다. 이는 $\mathrm{GSp}_{1,1}$에 대한 랭랜즈 대응과 쌍대군과의 스칼라 대응을 활용한다. 주요 결과로는 $\mathrm{Sp}_{1,1}$의 $L$-패키지와 중심 문자가 지정된 $S$-군의 기약 표현 간의 자연스러운 전단사 사상이 존재함을 보여주며, 이는 이러한 비분할 형식에 대한 $L$-패키지의 매개변수화를 해결한다.

ABSTRACT

This paper proves the local Langlands conjecture for the non quasi-split inner form Sp(1,1) of Sp(4) over a p-adic field of characteristic 0, by studying the restriction of representations from the non quasi-split inner form GSp(1,1) of GSp(4) to Sp(1,1). The L-packets for Sp(1,1) are constructed based on the earlier work on the local Langlands correspondence for GSp(1,1) by Gan and Tantono. To parameterize them in terms of so-called S-groups, we establish and utilize the local Langlands correspondence for reductive dual groups which participate in the theta correspondence with Sp(1,1) and GSp(1,1). An interesting phenomenon arises when two distinct members in an L-packet of GSp(1,1) are restricted to Sp(1,1).

연구 동기 및 목표

• 특성 0인 $p$-진 체 위의 $\mathrm{Sp}_4$의 비준비분할 내부 형식인 $\mathrm{Sp}_{1,1}$에 대한 국소 랭랜즈 대응(LLC)를 수립하는 것.
• Gan과 Tantono의 이전 작업을 바탕으로 $\mathrm{GSp}_{1,1}$에서의 $L$-패키지 제약을 통해 $\mathrm{Sp}_{1,1}$의 $L$-패키지를 구성하는 것.
• $S$-군 구축과 코트위츠 동형사상 및 중심 문자 자료를 통합하여 $\mathrm{Sp}_{1,1}$의 $L$-패키지 매개변수화를 수행하는 것.
• $\mathrm{GSp}_{1,1}$의 서로 다른 $L$-패키지가 $\mathrm{Sp}_{1,1}$로 제약될 때의 행동을 분석하여 $\mathrm{Sp}_{1,1}$의 $L$-패키지의 구조를 해결하는 것.

제안 방법

• $\mathrm{GSp}_{1,1}$에서 $\mathrm{Sp}_{1,1}$로의 $L$-패키지 제약을 수행하며, 서로 다른 $L$-패키지가 제약 후에도 서로 다른 이미지를 갖는다는 사실을 이용한다.
• $\mathrm{Sp}_{1,1}$과 $\mathrm{GSp}_{1,1}$과 스칼라 대응을 이루는 쌍대군 $\mathrm{SO}_{2,2}$와 $\mathrm{SO}_{3,3}$에 대한 국소 랭랜즈 대응을 활용한다.
• $\mathrm{Sp}_{1,1}$의 쌍대군 $\widehat{\mathrm{Sp}_{1,1}}$에 대한 $S$-군 $\mathcal{S}_{\varphi,\mathrm{sc}}(\widehat{\mathrm{Sp}_{1,1}})$과 $\mathrm{SO}^{*}_{1,1}$의 쌍대군에 대한 $S$-군 $\mathcal{S}_{\varphi,\mathrm{sc}}(\widehat{\mathrm{SO}^{*}_{1,1}})$ 사이의 자연스러운 동형사상을 수립하여 표현 자료의 이행을 가능하게 한다.
• 코트위츠 동형사상을 적용하여 중심 문자 $\zeta_G$를 $F$-내부 형식인 쌍대군, 특히 $\mathrm{SO}_{2,2}$와 $\mathrm{SO}_{4,0}$과 연결한다.
• $\mathrm{SO}_{2,2}$와 $\mathrm{SO}_{4,0}$의 표현을 $\mathrm{GSp}_{1,1}$-자료를 통해 $\mathrm{Sp}_{1,1}$의 표현과 연결하는 잭위-랭글랜즈 대응을 활용한다.
• $S$-군의 구조와 그 기약 표현에 대한 사례 분석을 통해 주정리를 증명하며, $\Pi_\varphi(\mathrm{Sp}_{1,1}) \cong \mathrm{Irr}(\mathcal{S}_{\varphi,\mathrm{sc}}(\widehat{\mathrm{Sp}_{1,1}}), \zeta_G)$임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 랭랜즈 대응은 $\mathrm{Sp}_4$의 비준비분할 내부 형식, 예를 들어 $\mathrm{Sp}_{1,1}$로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 $\mathrm{GSp}_{1,1}$의 $L$-패키지가 $\mathrm{Sp}_{1,1}$로 제약될 때 어떤 일이 일어나며, 이는 후자의 $L$-패키지의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 $S$-군 매개변수화는 비준비분할 군, 특히 $S$-군이 아벨이 아닌 경우에 어떻게 적응될 수 있는가?
• RQ4 $\mathrm{SO}_{2,2}$와 $\mathrm{SO}_{3,3}$와의 스칼라 대응은 $\mathrm{Sp}_{1,1}$의 $L$-패키지 구성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $S$-군 구축에서의 중심 문자 $\zeta_G$는 쌍대군의 $F$-내부 형식과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 특성 0인 $p$-진 체 위의 비준비분할 내부 형식 $\mathrm{Sp}_{1,1}$에 대한 국소 랭랜즈 대응이 완전히 수립되었다.
• $\mathrm{Sp}_{1,1}$의 $L$-패키지는 $\mathrm{GSp}_{1,1}$에서의 $L$-패키지 제약을 통해 구성되었으며, $\mathrm{GSp}_{1,1}$에서 서로 다른 $L$-패키지는 $\mathrm{Sp}_{1,1}$에서 서로 다른 이미지를 갖는다.
• $\mathcal{S}_{\varphi,\mathrm{sc}}(\widehat{\mathrm{Sp}_{1,1}})$와 $\mathcal{S}_{\varphi,\mathrm{sc}}(\widehat{\mathrm{SO}^{*}_{1,1}})$ 사이의 동형사상이 존재하여 쌍대군의 표현 자료를 이행할 수 있다.
• $L$-패키지 $\Pi_\varphi(\mathrm{Sp}_{1,1})$는 $\mathrm{Irr}(\mathcal{S}_{\varphi,\mathrm{sc}}(\widehat{\mathrm{Sp}_{1,1}}), \zeta_G)$와 자연스러운 전단사 사상이 존재하며, 여기서 $\zeta_G$는 코트위츠 동형사상에 의해 결정되며 $\mathrm{SO}_{2,2}$ 또는 $\mathrm{SO}_{4,0}$에 대응한다.
• 스칼라 대응과 잭위-랭글랜즈 대응을 통해 $\mathrm{SO}_{2,2}$와 $\mathrm{SO}_{4,0}$의 표현을 $\mathrm{Sp}_{1,1}$의 표현과 연결하였으며, $\mathrm{GSp}_{1,1}$-자료를 통해 명시적인 전단사 사상을 확립하였다.
• $\mathrm{Sp}_{1,1}$의 $L$-패키지의 구조는 완전히 기술되었으며, $S$-군은 항상 기본 2군이며, $\gamma$-인자와 $L$-인자와의 호환성이 확보되어 있다.