[논문 리뷰] The local Langlands correspondence for inner forms of $SL_n$

Anne‐Marie Aubert, Paul Baum외 2명|MIMS EPrints (University of Southampton)|2013. 05. 12.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비아르키메데스 현수체 $F$ 위의 $\mathrm{SL}_n(F)$의 모든 내부형식에 대해 국소 리만-랑글랜즈 대응을 수립하며, 성분군의 기약 표현을 갖춘 랑글랜즈 매개변수(강화된 랑글랜즈 매개변수)와 모든 내부형식의 기약 적응 표현들의 합집합 간의 전단사 관계를 증명한다. 결과는 아르키메데스 경우로 확장되며, 양의 특성수에서의 처리를 위해 '근접한 필드' 방법을 사용하여 $\mathrm{GL}_n$ 내부형식의 LLC와 깊이 조건 하에서의 호환성을 입증한다.

ABSTRACT

Let F be a non-archimedean local field. We establish the local Langlands correspondence for all inner forms of the group $SL_n (F)$. It takes the form of a bijection between, on the one hand, conjugacy classes of Langlands parameters for $SL_n (F)$ enhanced with an irreducible representation of an S-group and, on the other hand, the union of the spaces of irreducible admissible representations of all inner forms of $SL_n (F)$. An analogous result is shown in the archimedean case. To settle the case where F has positive characteristic, we employ the method of close fields. We prove that this method is compatible with the local Langlands correspondence for inner forms of $GL_n (F)$, when the fields are close enough compared to the depth of the representations.

연구 동기 및 목표

• 비아르키메데스 현수체 $F$ 위의 $\mathrm{SL}_n(F)$의 모든 내부형식에 대해 국소 리만-랑글랜즈 대응을 완성한다. 이는 양의 특성수의 경우도 포함된다.
• 강화된 랑글랜즈 매개변수와 $\mathrm{SL}_n(F)$의 내부형식의 기약 적응 표현들 사이의 정규 전단사 관계를 정의한다.
• 대응을 아르키메데스 경우로 확장한다.
• 깊이 제약 조건 하에서 근접한 필드 방법이 $\mathrm{GL}_n(F)$ 내부형식의 LLC와 호환됨을 증명한다.
• 성분군 $\mathcal{S}_\phi$와 $\mathcal{Z}_\phi$가 $\mathrm{SL}_n(F)$의 내부형식에 대한 L-패킷을 매개변수화하는 데 수행하는 역할를 명확히 한다.

제안 방법

• 강화된 랑글랜즈 매개변수 $\Phi^e(G^\sharp)$를 쌍 $(\phi, \rho)$로 정의한다. 여기서 $\phi$는 $G^\sharp = \ker(\mathrm{Nrd}) \subset \mathrm{GL}_m(D)$에 대한 랑글랜즈 매개변수이며, $\rho \in \mathrm{Irr}(\mathcal{S}_\phi)$이다. 여기서 $\mathcal{S}_\phi = Z_{\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})}(\mathrm{im}\,\phi)/Z_{\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})}(\mathrm{im}\,\phi)^\circ$이다.
• $\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})$가 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$와 $\mathrm{PGL}_n(\mathbb{C})$에 작용하는 코너지션 작용을 이용하여 $\mathcal{S}_\phi$와 $\mathcal{Z}_\phi$를 정의하고, 짧은 정확수열을 통해 표준 성분군 $S_\phi$와 연결한다.
• 근접한 필드 방법을 적용하여, 특성수 $p > 0$인 경우를 특성수 0인 경우로 감소시킨다. 이를 위해 깊이 $\leq l$인 표현들이 호환적으로 올라가도록 $p$-진 필드 $\widetilde{F}$를 $F$에 대해 $l$-근접하게 구성한다.
• 자크-랑글랜즈 대응과 $\zeta_r$-함수의 호환성을 이용하여 $\mathrm{GL}_m(D)$와 $\mathrm{GL}_{kd}(F)$의 표현들을 연결한다. 이는 근접한 필드의 동형사상 하에서 $\mathrm{rec}_{D,m}(\pi)$가 $\mathrm{rec}_{\widetilde{F},kd}$로 올라간다는 것을 보장한다.
• 근접한 필드 동형사상 하에서 통합 연산자 $I_\gamma$와 코chains $\kappa_{\phi^\sharp}$가 보존됨을 증명하여, $\mathcal{S}_\phi/\mathcal{Z}_\phi$-작용이 $\Pi_{\phi^\sharp}(G^\sharp)$ 위에서 정확히 올라간다는 것을 확보한다.
• 표현이 LLC 아래에서 이미지로 올라가는 방식과 $\mathbb{C}[\mathcal{S}_\phi/\mathcal{Z}_\phi, \kappa_{\phi^\sharp}]$-모듈 구조가 일치함을 보여, 정규 전단사 관계 $\mathrm{Irr}(G^\sharp) \to \Phi^e(G^\sharp)$를 수립한다. 이를 위해 등식 $\mathbb{C}[\mathcal{S}_\phi/\mathcal{Z}_\phi, \kappa_{\phi^\sharp}] \cong e_{\chi_G}\mathbb{C}[\mathcal{S}_\phi]$를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아르키메데스 현수체 $F$ 위의 $\mathrm{SL}_n(F)$의 모든 내부형식에 대해 국소 리만-랑글랜즈 대응을 어떻게 확장할 수 있는가? 이는 양의 특성수의 경우도 포함한다.
• RQ2 강화된 랑글랜즈 매개변수를 이용하여 $\mathrm{SL}_n(F)$-L-패킷을 올바르게 매개변수화하는 방법은 무엇이며, 성분군 $\mathcal{S}_\phi$와 $\mathcal{Z}_\phi$는 표준 $S_\phi$를 어떻게 보완하는가?
• RQ3 근접한 필드 방법이 $\mathrm{GL}_n(F)$의 내부형식에 대한 국소 리만-랑글랜즈 대응과 얼마나 호환되는가? 특히 깊이가 유계인 표현들에 대해서는 어떤가?
• RQ4 자크-랑글랜즈 대응은 근접한 필드의 맥락에서 $\zeta_r$-함수와 $\mathrm{rec}_{D,m}$-사상과 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 모든 내부형식, 특히 아르키메데스 경우를 포함하여, $\mathrm{Irr}(G^\sharp) \to \Phi^e(G^\sharp)$의 정규 전단사 관계를 균일하게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 내부형식의 $\mathrm{SL}_n(F)$에 대한 국소 리만-랑글랜즈 대응은 강화된 랑글랜즈 매개변수 $\Phi^e(G^\sharp)$의 집합과 모든 내부형식의 기약 적응 표현들의 합집합(동치류 기준) 사이의 정규 전단사 관계로서 수립된다.
• $\mathrm{SL}_n(F)$의 성분군 $\mathcal{S}_\phi$는 몫 $Z_{\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})}(\mathrm{im}\,\phi)/Z_{\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})}(\mathrm{im}\,\phi)^\circ$로 정의되며, $\mathcal{Z}_\phi$를 포함하는 짧은 정확수열을 통해 표준 $S_\phi$를 보완한다.
• 특성수 $p > 0$인 $p$-진 필드 $F$에 대해서는, 필드들이 $l$-근접하고 $l$이 표현의 깊이에 대해 충분히 크면 근접한 필드 방법을 통해 LLC를 특성수 0의 경우로 감소시킬 수 있다.
• 근접한 필드 동형사상 하에서 통합 연산자 $I_\gamma$와 코chains $\kappa_{\phi^\sharp}$가 보존되어, $\mathcal{S}_\phi/\mathcal{Z}_\phi$-작용이 $\Pi_{\phi^\sharp}(G^\sharp)$ 위에서 정확히 올라간다.
• $\Pi_{\phi^\sharp}(G^\sharp)$ 위의 $\mathbb{C}[\mathcal{S}_\phi/\mathcal{Z}_\phi, \kappa_{\phi^\sharp}]$-모듈 구조는 $e_{\chi_G}\mathbb{C}[\mathcal{S}_\phi]$와 동형이며, 이는 매개변수화가 $G^\sharp$의 표현 이론과 호환됨을 확인한다.
• 결과는 아르키메데스 경우로 확장되어, $\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$과 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})$에 대해서도 동일한 전단사 관계가 성립함을 보여, $\mathrm{SL}_n$의 모든 내부형식에 대한 LLC를 완성한다.