[논문 리뷰] The Logarithm of the Modulus of an Entire Function as a Minorant for a Subharmonic Function outside a Small Exceptional Set

Б. Н. Хабибуллин|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 22.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 정칙 함수의 로그 모듈러스가 하위조화 함수의 적분 평균으로 유계이거나, 그 하위조화 함수 자체로 유계이도록 하는 정칙 함수의 존재성 간의 동치성을 확립한다. 주요 결과는 유한 차수를 가진 하위조화 함수에 대해, log|f| ≤ u가 소수의 밀도가 제어된 작은 디스크들의 가산 합집합 외부에서 성립함을 보여주며, 이는 차수, 유형, 지표 함수를 통한 정확한 성장 조절을 제공하는 보다 정교한 하한 조건을 제시한다.

ABSTRACT

Let $u ot\equiv -\infty$ be a subharmonic function on the complex plane $\mathbb C$. In 2016, we obtained a result on the existence of an entire function $f eq 0$ satisfying the estimate $\log|f|\leq {\sf B}_u$ on $\mathbb C$, where functions ${\sf B}_u$ are integral averages of $u$ for rapidly shrinking disks as it approaches infinity. We give another equivalent version of this result with $\log |f|\leq u$ outside a very small exceptional set if $u$ is of finite order.

연구 동기 및 목표

• 2016년의 정칙 함수가 하위조화 함수에 의해 하한으로 제약받는 결과에 대해 동치적 표현을 수립하기 위해.
• 적분 평균을 점별 유계 조건으로 대체함으로써 하한 조건을 정교화하기 위해.
• 하위조화 함수 u의 차수, 유형, 지표 함수를 통해 정칙 함수 f의 성장 특성을 기술하기 위해.
• 예외 집합이 제어된 밀도와 감쇠 속도를 가지는 조건을 제공하기 위해.

제안 방법

• 하위조화 함수 u로부터 유도된 적분 평균 B_u(z,r) 및 C_u(z,r)를 log|f|의 상한으로 사용하기 위해.
• sup t_k ≤ 1 이고 ∑_{|z_k|≥R} t_k = O(1/R^q) (R→∞) 를 만족하는 디스크 D(z_k, t_k)의 가산 합집합인 예외 집합 E_q를 구성하기 위해.
• 리에스 측도와 조화 상한을 활용하여 하위조화 함수와 그 적분 평균 간의 관계를 분석하기 위해.
• 지표 함수 ind_p[u](s)를 사용하여 u와 log|f| 간의 渐近 성장 행동을 비교하기 위해.
• M^rad_u의 차수와 C_u 및 B_u의 차수 간의 동치성을 활용하여 성장 조절을 수행하기 위해.
• 두 방향 함의를 통한 증명: 정리 1.1에서 예외 집합 표현으로의 전환과 그 반대 방향으로, 커버링 및 측도론적 추정을 활용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정칙 함수의 로그 모듈러스가 소수의 밀도가 제어된 작은 예외 집합 외부에서 하위조화 함수에 의해 점별로 유계일 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 예외 집합의 크기와 분포는 정칙 함수의 성장에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 하위조화 함수 u의 차수, 유형, 지표 함수와 정칙 함수 f의 것 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 log|f| ≤ B_u(z, Q(z)) 인 하한 조건이, 밀도가 제어된 집합 외부에서 log|f| ≤ u로 동치적으로 대체될 수 있는가?
• RQ5 u의 유한 차수는 f에 어떤 성장 제약 조건을 부과하는가?

주요 결과

• 모든 q > 0 에 대해, sup t_k ≤ 1 이고 ∑_{|z_k|≥R} t_k = O(1/R^q) (R→∞) 를 만족하는 가산 합집합 E_q 외부에서 log|f_q(z)| ≤ u(z) 를 만족하는 영이 아닌 정칙 함수 f_q 가 존재한다.
• 정칙 함수 f_q의 차수는 ord[log|f_q|] ≤ ord[u] 를 만족하며, 모든 p > 0 에 대해 유형 p에 대해 type_p[log|f_q|] ≤ type_p[u] 이다.
• log|f_q|의 지표 함수는 u의 지표 함수에 의해 점별로 위에서 유계이며, 즉 모든 s ∈ ℝ 및 p > 0 에 대해 ind_p[log|f_q|](s) ≤ ind_p[u](s) 이다.
• 하위조화 함수 u의 차수는 그 적분 평균의 차수와 동일하다: ord[u] = ord[C_u] = ord[B_u].
• 모든 p > 0 에 대해 type_p[u]의 유한성은 type_p[C_u] 및 type_p[B_u]의 유한성과 동치이다.
• 예외 집합 E_q 는 총 측도가 O(1/R^q) 로 감쇠하는 디스크들로 커버링 가능하여 무한대에서 밀도가 무시 가능함을 보장한다.