[논문 리뷰] The logarithmically averaged Chowla and Elliott conjectures for two-point correlations

Terence Tao|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 17.

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한 줄 요약

이 논문은 다항식의 곱의 성질을 이용한 새로운 엔트로피 감소 추론 기법을 사용하여 리우빌 함수의 두 점 상관관계에 대한 로그 평균 카우라 추측을 증명한다. 이 기법은 곱셈적 수론, 곱셈 함수의 짧은 평균, 하디-리틀우드 원주법 등의 도구와 결합된다. 주요 결과는 $ x \to \infty $ 일 때 $ \sum_{x/\omega(x) < n \leq x} \frac{\lambda(a_1n + b_1)\lambda(a_2n + b_2)}{n} = o(\log \omega(x)) $ 임을 보이며, 이는 이 문제의 두 점 경우에서 계량 장벽을 돌파한다.

ABSTRACT

Let $λ$ denote the Liouville function. The Chowla conjecture, in the two-point correlation case, asserts that $$ \sum_{n \leq x} λ(a_1 n + b_1) λ(a_2 n+b_2) = o(x) $$ as $x o \infty$, for any fixed natural numbers $a_1,a_2,b_1,b_2$ with $a_1b_2-a_2b_1 eq 0$. In this paper we establish the logarithmically averaged version $$ \sum_{x/ω(x) &lt; n \leq x} \frac{λ(a_1 n + b_1) λ(a_2 n+b_2)}{n} = o(\log ω(x)) $$ of the Chowla conjecture as $x o \infty$, where $1 \leq ω(x) \leq x$ is an arbitrary function of $x$ that goes to infinity as $x o \infty$, thus breaking the "parity barrier" for this problem. Our main tools are the multiplicativity of the Liouville function at small primes, a recent result of Matomäki, Radziwiłł, and the author on the averages of modulated multiplicative functions in short intervals, concentration of measure inequalities, the Hardy-Littlewood circle method combined with a restriction theorem for the primes, and a novel "entropy decrement argument". Most of these ingredients are also available (in principle, at least) for the higher order correlations, with the main missing ingredient being the need to control short sums of multiplicative functions modulated by local nilsequences. Our arguments also extend to more general bounded multiplicative functions than the Liouville function $λ$, leading to a logarithmically averaged version of the Elliott conjecture in the two-point case. In a subsequent paper we will use this version of the Elliott conjecture to affirmatively settle the Erdős discrepancy problem.

연구 동기 및 목표

• 두 점 상관관계에 대한 리우빌 함수에 대한 로그 평균 카우라 추측을 증명하고, 계량 장벽을 극복한다.
• 짧은 간격에서 곱셈 함수의 상관관계를 제어하기 위해 새로운 엔트로피 감소 추론 기법을 개발하고 적용한다.
• 이러한 기법을 일반적인 유계 곱셈 함수에 적용하여 두 점 상관관계에 대한 엘리엇 추측의 로그 평균 버전으로 확장한다.
• 이러한 평균 엘리엇 추측을 통해 에르되시의 분산 문제를 해결하기 위한 기초를 마련한다.
• 고차 상관관계로의 확장을 위한 주요 장애물, 특히 임의의 주파수를 가진 최대 지수 합의 제어 필요성을 규명한다.

제안 방법

• 리우빌 함수가 이동에 대해 근사적으로 불변성을 띠는 척도 $ H $ 를 식별하기 위해 새로운 엔트로피 감소 추론 기법을 도입한다.
• 작은 소수에서 $ \lambda $ 의 곱셈성 특성을 이용해 상관관계를 무작위 그래프의 이중선형 형태로 연결한다.
• 측도 집중 불등식을 적용하여 이러한 이중선형 형태의 분산을 제어한다.
• 하드리-리틀우드 원주법과 소수에 대한 제약 정리를 조합하여 주역기여를 분석한다.
• 마토마키, 라드지비리의 최근 결과를 활용하여 조정된 곱셈 함수의 짧은 평균에 대한 연구를 이어간다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계량 장벽을 우회하는 도구를 사용하여 두 점 상관관계에 대한 로그 평균 카우라 추측을 증명할 수 있는가?
• RQ2 엔트로피 감소 추론 기법이 리우빌 함수가 근사적으로 불변성을 띠는 척도 $ H $ 를 식별하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 그래프 이론적 기법과 지수 합 기법을 사용하여 리우빌 함수를 포함하는 이중선형 형태를 어떻게 제어할 수 있는가?
• RQ4 세 점 이상의 상관관계로의 기법 확장을 위한 주요 장애물은 무엇인가?
• RQ5 그래프의 확장 성질 등의 대체 방법을 사용하여 주요 결과에서 로그 평균을 제거할 수 있는가?

주요 결과

• 두 점 상관관계에 대한 로그 평균 카우라 추측이 성립한다: $ \sum_{x/\omega(x) < n \leq x} \frac{\lambda(a_1n + b_1)\lambda(a_2n + b_2)}{n} = o(\log \omega(x)) $, $ x \to \infty $ 일 때.
• 이 결과는 $ (\lambda(n), \lambda(n+1)) $ 의 각 부호 패턴 $ (\epsilon_1, \epsilon_2) \in \{-1,+1\}^2 $ 가 로그 밀도 $ 1/4 $ 로 발생함을 의미한다.
• 엔트로피 감소 추론 기반으로 유도된 이중선형 추정을 통해 두 점 카우라 추측에 대한 계량 장벽을 돌파한 기법이 적용된다.
• 엔트로피 감소 추론 기법은 리우빌 함수가 근사적으로 불변성을 띠는 척도 $ H $ 를 식별하여 상관관계 제어를 가능하게 한다.
• 고차 상관관계로의 확장에서 주요 장애물은 $ \frac{1}{X}\int_X^{2X} \sup_\alpha \left| \frac{1}{H} \sum_{x \leq n \leq x+H} \lambda(n) e(\alpha n) \right| dx $ 형태의 최대 지수 합 제어 문제이며, 현재 이는 유계가 아니다.
• 이 기법은 일반적인 유계 곱셈 함수로 확장되어 두 점 경우에 대한 엘리엇 추측의 로그 평균 버전을 도출한다.