[논문 리뷰] The long-time behaviour of a stochastic SIR epidemic model with distributed delay and multidimensional Lévy jumps

Driss Kiouach, Yassine Sabbar|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 16.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 59인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 분포 지연과 다차원 레비 점프를 포함한 확률적 SIR 전염병 모델을 제안하여 장기적인 전염병 역학을 분석한다. 이토-레비 스토케스 미분방정식과 고급 분석 기법을 사용하여 전염병의 멸종 및 평균적 지속 가능성에 대한 충분조건을 수립하였으며, 레비 점프 강도와 소음 수준이 전염병이 장기적으로 소멸되거나 지속되도록 결정하는 데 핵심적인 역할을 함을 보여준다.

ABSTRACT

Recently, emerging epidemics like COVID-19 and its variants require predictive mathematical models to implement suitable responses in order to limit their negative and profound impact on society. The SIR (Susceptible-InfectedRemoved) system is a straightforward mathematical formulation to model the dissemination of many infectious diseases. The present paper reports novel theoretical and analytical results for a perturbed version of an SIR model with Gamma-distributed delay. Notably, our epidemic model is represented by Itô-L'evy stochastic differential equations in order to simulate sudden and unexpected external phenomena. By using some new and ameliorated mathematical approaches, we study the long-run characteristics of the perturbed delayed model. Within this scope, we give sufficient conditions for two interesting asymptotic proprieties: extinction and persistence of the epidemic. One of the most interesting results is that the dynamics of the stochastic model are closely related to the intensities of white noises and L'evy jumps, which can give us a good insight into the evolution of the epidemic in some unexpected situations. Our work complements the results of some previous investigations and provides a new approach to predict and analyze the dynamic behavior of epidemics with distributed delay. For illustrative purposes, numerical examples are presented for checking the theoretical study

연구 동기 및 목표

• 생물학적 변동성과 갑작스러운 환경적 충격을 반영하기 위해 분포 지연과 레비 점프를 포함시켜 더 현실적인 전염병 모델을 개발하기 위해.
• 확률적 영향을 받는 왜곡된 SIR 모델의 장기적 행동을 연구하며, 특히 멸종과 지속성에 중점을 두기 위해.
• 이전의 결정론적 및 확산 기반 모델을 발전시켜 레비 점프를 포함시켜 전염병 전파 과정에서 희귀하지만 영향력 있는 사건을 더 잘 반영하기 위해.
• 알 수 없는 정적 분포에 의존하지 않는 새로운 분석 기법을 제공하여 결과의 강건성과 최적성 향상하기 위해.
• 소음 강도와 점프 특성이 전염병 결과에 미치는 영향를 실용적으로 제공하여 공중보건 정책 수립에 기여하기 위해.

제안 방법

• 감마 분포 지연을 가진 SIR 모델을 선형 체인 기법을 사용하여 등가 시스템으로 변환하여 분포 지연을 보조 변수 $\mathcal{D}(t)$ 로 대체한다.
• 이토-레비 스토케스 미분방정식을 사용하여 가우시안 화이트 노이즈와 레비 점프를 함께 포함시켜 급격하고 큰 진폭의 외란을 모델링한다.
• 명시적인 정적 분포가 필요하지 않은 점을 고려하여, 과정 $\psi(s)$ 와 그 제곱의 시간 평균을 사용하는 새로운 수학적 기법을 적용하여 渐近적 행동을 분석한다.
• 분석 과정에서 $\ln(1+x) - x \leq 0$ 인 불등식을 제거하지 않은 형태로 사용하여 더 날카운 경계와 향상된 추정치를 도출한다.
• 멸종 및 지속성 기준의 분석 경계의 최적성과 정밀도를 향상시키기 위해 새로운 표현 $\chi_{1,p}$ 를 도입한다.
• 특정 파라미터 조합을 사용한 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 결과를 검증하고 레비 점프가 전염병 역학에 미치는 영향을 시각화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분포 지연과 레비 점프를 포함한 확률적 SIR 모델이 전염병 멸종을 보일 조건은 무엇인가?
• RQ2 레비 점프와 화이트 노이즈가 존재하는 조건에서 감염자 인구의 평균적 지속성에 대한 충분조건는 무엇인가?
• RQ3 화이트 노이즈와 레비 점프의 강도는 전염병의 장기적 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 확산 또는 결정론적 시스템에 의해 구동되는 모델과 비교할 때 레비 점프는 점근적 역학을 어떻게 변화시키는가?
• RQ5 이 분석 프레임워크는 레비 노이즈를 포함한 다른 확률적 전염병 모델로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 소음 강도와 레비 점프 강도가 전파 및 회복 속도보다 충분히 클 경우 전염병은 거의 확실히 멸종한다.
• 소음과 점프 강도가 충분히 작아서 지속적인 전파가 가능할 경우 평균적 지속성이 발생하며, 이 임계값은 모델의 파라미터에 따라 달라진다.
• 수치 시뮬레이션 결과, 레비 점프는 결정론적 모델과 확산 왜곡 모델이 지속성을 예측하는 상황에서도 시스템을 멸종 쪽으로 이끌 수 있음을 보여준다.
• 레비 점프의 강도는 전염병 유병률에 상당한 부정적 영향을 미치며, 이는 희귀하지만 극단적인 사건이 전염병을 억제할 수 있음을 시사한다.
• 제안된 방법은 과정 $\psi$ 의 명시적 정적 분포 $\pi^\star(\cdot)$ 가 필요로 하지 않아 더 강건하고 일반화 가능한 결과를 도출할 수 있다.
• 레비 점프가 포함된 모델은 특히 지속 조건 하에서 확산 전용 모델보다 감염자 인구 경로의 변동성이 더 크다.