[논문 리뷰] The Loschmidt echo in classically chaotic systems: Quantum chaos, irreversibility and decoherence

Fernando Cucchietti|ArXiv.org|2004. 10. 15.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 94인용 수 7

한 줄 요약

이 학위논문은 고전적으로 혼돈적인 양자 시스템에서의 로슈미트 에코(LE)를 조사하며, 양자역학적 근사에서 LE가 강한 외부 흐름에 의해 결정되는 고전적 리아푸노프 지수에 의해 제어되는 지수적 감쇠를 보임을 입증한다. 이는 LE 감쇠 속도가 디코herence 속도와 일치함을 보여주며, 양자 역행성, 양자 혼돈, 디코herence 간의 직접적인 연결을 확립함으로써 LE가 고전적 혼돈의 강력한 양자 서식임을 확인한다.

ABSTRACT

The Loschmidt echo (LE) is a measure of the sensitivity of quantum mechanics to perturbations in the evolution operator. It is defined as the overlap of two wave functions evolved from the same initial state but with slightly different Hamiltonians. Thus, it also serves as a quantification of irreversibility in quantum mechanics. In this thesis the LE is studied in systems that have a classical counterpart with dynamical instability, that is, classically chaotic. An analytical treatment that makes use of the semiclassical approximation is presented. It is shown that, under certain regime of the parameters, the LE decays exponentially. Furthermore, for strong enough perturbations, the decay rate is given by the Lyapunov exponent of the classical system. Some particularly interesting examples are given. The analytical results are supported by thorough numerical studies. In addition, some regimes not accessible to the theory are explored, showing that the LE and its Lyapunov regime present the same form of universality ascribed to classical chaos. In a sense, this is evidence that the LE is a robust temporal signature of chaos in the quantum realm. Finally, the relation between the LE and the quantum to classical transition is explored, in particular with the theory of decoherence. Using two different approaches, a semiclassical approximation to Wigner functions and a master equation for the LE, it is shown that the decoherence rate and the decay rate of the LE are equal. The relationship between these quantities results mutually beneficial, in terms of the broader resources of decoherence theory and of the possible experimental realization of the LE.

연구 동기 및 목표

• 고전적으로 혼돈적인 동역학을 보이는 양자 시스템에서의 로슈미트 에코(LE) 행동을 이해하는 것.
• 양자 역행성(LE를 통한)과 고전적 동역적 불안정성(리아푸노프 지수를 통한) 간의 이론적 연결을 수립하는 것.
• LE를 探침으로 사용하여 디코herence가 양자-고전 전이에 미치는 역할을 조사하는 것.
• 다양한 혼돈 시스템에서 광범위한 수치 시뮬레이션을 통해 분석 예측을 검증하는 것.
• 양자역학적 근사 이론의 범위를 초월하여 LE의 리아푸노프 감쇠 영역에서의 보편성을 탐구하는 것.

제안 방법

• 혼돈 시스템에서의 로슈미트 에코에 대한 분석적 표현을 유도하기 위해 양자역학적 근사를 적용하는 것.
• 양자 진동과 고전적 위상공간 역학 간의 연결을 위해 위그너 함수 형식을 사용하는 것.
• 마스터 방정식 접근법을 적용하여 LE 감쇠를 모델링하고 이를 디코herence 과정과 연결하는 것.
• 로렌츠 기체, 스타디움 비알리스, 그리고 뒤집힌 조화 진동자와 같은 시스템에서 수치 시뮬레이션을 수행하는 것.
• 양자역학적 예측과 수치 결과를 비교하여 LE 감쇠의 리아푸노프 영역을 검증하는 것.
• 질량 텐서의 왜곡을 통해 외부 흐름을 적용하여 혼돈적 동역학을 시뮬레이션하고 LE 감도를 탐색하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적으로 혼돈적인 동역학을 보이는 양자 시스템에서 로슈미트 에코는 어떻게 감쇠하는가?
• RQ2 로슈미트 에코의 감쇠 속도가 고전적 리아푸노프 지수와 어느 정도 일치하는가?
• RQ3 로슈미트 에코는 고전적 혼돈의 보편적인 양자 서식으로 기능할 수 있는가?
• RQ4 로슈미트 에코 감쇠 속도와 양자 디코herence 속도 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 에르엔페스트 시간과 열역학적 극한과 같은 양자 효과는 LE의 리아푸노프 영역 보편성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 강한 외부 흐름 조건에서, 양자역학적 근사 영역에서 로슈미트 에코는 감쇠 속도가 고전적 리아푸노프 지수와 일치하는 지수적 감쇠를 보인다.
• 로렌츠 기체와 스타디움 비알리스의 수치 시뮬레이션은 이론적 예측과 우수한 일치를 보이며 리아푸노프 감쇠를 확인한다.
• 로슈미트 에코의 리아푸노프 영역은 양자역학적 근사 영역을 초월하여 다양한 혼돈 시스템에서 보편성을 보인다.
• 로슈미트 에코 감쇠 속도는 디코herence 속도와 동일하며, 이는 역행성과 디코herence 간의 직접적인 정량적 연결을 확립한다.
• 양자역학적 위그너 함수 접근법은 LE 진동의 배경이 되는 고전적 위상공간 역학을 성공적으로 재현한다.
• 질량 텐서의 왜곡은 비알리스에서 기하학적 외부 흐름과 동일한 기술적 기능을 하며, 이러한 모델이 LE 연구에서 타당함을 검증한다.