[논문 리뷰] The Lower Bound Error for polynomial NARMAX using an Arbitrary Number of Natural Interval Extensions

Priscila F. S. Guedes, Márcia L. C. Peixoto외 3명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 21.

Chaos control and synchronization참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다항식 NARMAX 모델에서 하한 오차를 추정하기 위해 k개의 서로 다른 자연 구간 확장에서 유도된 k개의 가상 궤적을 비교함으로써, 재귀적 함수 전파와 리ャ푸노프 지수 검증을 활용하는 새로운 방법을 제안한다. 이 방법은 오차 추정 정확도를 향상시키며, 시네 맵(리ャ푸노프 지수 ≈1.15 비트/s)과 덴핑-우에 진동자(≈0.1202)에 대해 문헌 값과 강한 일치를 보이며, 혼돈 시스템 시뮬레이션의 신뢰성을 확인한다.

ABSTRACT

The polynomial NARMAX (Nonlinear AutoRegressive Moving Average model with eXogenous input) is a model that represents the dynamics of physical systems. This polynomial contains information from the past of the inputs and outputs of the process, that is, it is a recursive model. In digital computers this generates the propagation of the rounding error. Our procedure is based on the estimation of the maximum value of the lower bound error considering an arbitrary number of pseudo-orbits produced from different natural interval extensions, and a posterior Lyapunov exponent calculation. We applied successfully our technique for two identified models of the systems: sine map and Duffing-Ueda oscillator

연구 동기 및 목표

• 디지털 계산에서의 반올림 오차에 대한 강건한 오차 전파 분석 부족 문제를 해결하기 위해.
• 이전 연구에서 하한 오차 추정을 위해 단지 두 개의 가상 궤적을 사용한 것을 임의의 수의 구간 확장으로 확장하기 위해.
• 최소 가능한 오차 증가를 정량화하여 비선형 동적 시스템의 수치 시뮬레이션의 신뢰성을 향상시키기 위해.
• 기존 문헌 값과의 비교를 통해 잘 알려진 혼돈 시스템인 시네 맵과 덴핑-우에 진동자에 대해 제안된 방법을 검증하기 위해.
• k개의 가상 궤적 간 최대 거리가 쌍별 비교보다 더 날카롭고 정확한 하한 오차 추정을 제공함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 동일한 다항식 NARMAX 함수에 대해 k개의 서로 다른 자연 구간 확장을 사용하여 k개의 가상 궤적을 생성하며, 이는 수학적 등가성을 유지하지만 산술 연산 순서에서 다름.
• 각 가상 궤적은 구간 산술을 사용하여 계산되며, 두 시험 시스템의 초기 조건은 모두 X₀ = 0.1로 설정.
• 각 시간 단계에서 k개의 가상 궤적 간의 최대 쌍별 거리를 계산하여 하한 오차 추정의 기초를 형성.
• k개의 가상 궤적 간 최대 거리가 어떤 두 개의 가상 궤적 간 하한 오차를 초월함을 증명한 정리가 제시되며, 이는 오차 추정을 더욱 날카럽게 한다.
• 문헌 값과의 비교를 가능하게 하기 위해, [6]의 방법을 사용하여 최대 하한 오차 추정 궤적의 리ャ푸노프 지수를 계산.
• 결과적으로 이 방법은 시네 맵과 덴핑-우에 진동자와 같은 두 가지 벤치마크 시스템에 적용되었으며, 알려진 동역학적 파라미터와의 일치 여부로 검증되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k개의 서로 다른 자연 구간 확장에서 유도된 k개의 가상 궤적을 사용할 경우, 기존의 두 가상 궤적 방법에 비해 다항식 NARMAX 모델에서 더 정확하고 날카운 하한 오차 추정을 얻을 수 있는가?
• RQ2 k개의 가상 궤적 간 최대 거리는 재귀적 수치 시뮬레이션에서 진짜 하한 오차와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 제안된 방법은 구간 산술 오차 전파 하에서 혼돈 시스템의 동역학적 특성(예: 리ャ푸노프 지수)을 유지하는가?
• RQ4 구간 확장의 수를 늘일수록 다항식 NARMAX 모델에서 오차 추정의 신뢰성은 어느 정도 향상되는가?
• RQ5 이 방법은 시네 맵과 덴핑-우에 진동자와 같이 잘 알려진 혼돈 시스템에 성공적으로 적용될 수 있으며, 기존 문헌 값과 일치하는 결과를 도출하는가?

주요 결과

• 시네 맵의 경우, 제안된 방법을 사용해 계산한 리ャ푸노프 지수는 약 1.15 비트/s로, 문헌 값인 1.15 비트/s와 매우 유사하게 일치하였다.
• 덴핑-우에 진동자의 경우, 계산된 리ャ푸노프 지수는 0.1202로, 문헌 값인 0.115와 강한 일치를 보였다.
• k개의 가상 궤적 간 최대 거리가 쌍별 비교보다 유효하고 더 날카운 하한 오차 추정으로서의 타당성을 증명한 이론적 확장에 의해 입증되었다.
• 수치 오차 전파에도 불구하고 이 방법은 두 시스템의 혼돈 역학을 성공적으로 포착하여 그 강건성을 확인하였다.
• 다양한 구간 확장을 사용함으로써 오차 추정 정확도가 향상되었으며, 계산 복잡도가 과도하게 증가하지 않아 효율적인 확장이 가능했으며, k에 대해 선형적으로 스케일링됨을 확인하였다.
• 결과적으로 제안된 k-가상 궤적 접근법이 혼돈 영역에서 다항식 NARMAX 모델의 자유 주행 시뮬레이션의 신뢰성을 향상시킨다는 것이 확인되었다.