[논문 리뷰] The Lyapunov dimension and its computation for self-excited and hidden attractors in the Glukhovsky-Dolzhansky fluid convection model

Н. В. Кузнецов, Г. А. Леонов외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 30.

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation참고 문헌 34인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 통계역학적 가정 없이 카프만-요르케 공식을 사용하여 글루크로프스키-돌잔스키 유체 대류 모델에서 자기진동 및 은폐된 혼돈 구동자에 대한 리아푸노프 차원에 대한 엄밀한 분석적 및 수치적 연구를 제시한다. 글로벌 구동자에 대한 정확한 리아푸노프 차원 공식을 유도하고, 수치적 추정을 위한 가이드를 제공하여, 각각 자기진동 및 은폐된 구동자에 대해 2.9827과 2.9830의 상한을 도출한다.

ABSTRACT

Consideration of various hydrodynamic phenomena involves the study of the Navier-Stokes (N-S) equations, what is hard enough for analytical and numerical investigations since already in three-dimensional (3D) case it is a challenging task to study the limit behavior of N-S solutions. The low-order models (LOMs) derived from the initial N-S equations by Galerkin method allow one to overcome difficulties in studying the limit behavior and existence of attractors. Among the simple LOMs with chaotic attractors there are famous Lorenz system, which is an approximate model of two-dimensional convective flow and Glukhovsky-Dolzhansky model, which describes a convective process in three-dimensional rotating fluid and can be considered as an approximate model of the World Ocean. One of the widely used dimensional characteristics of attractors is the Lyapunov dimension. In the study we follow a rigorous approach for the definition of the Lyapunov dimension and justification of its computation by the Kaplan-Yorke formula, without using statistical physics assumptions. The exact Lyapunov dimension formula for the global attractors is obtained and peculiarities of the Lyapunov dimension estimation for self-excited and hidden attractors are discussed. A tutorial on numerical estimation of the Lyapunov dimension on the example of the Glukhovsky-Dolzhansky model is presented.

연구 동기 및 목표

• 통계역학적 가정에 의존하지 않고 글루크로프스키-돌잔스키 모델의 구동자에 대한 리아푸노프 차원을 계산하기 위한 엄밀한 분석적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 이 모델의 글로벌 구동자에 적용 가능한 정확한 리아푸노프 차원 공식을 도출하기 위해.
• 자기진동 및 은폐된 구동자의 리아푸노프 차원 추정 방식에 차이가 발생하는 이유를 그들의 서로 다른 안정성 영역의 구조에 기인하여 탐구하기 위해.
• 유한시간 리아푸노프 지수와 SVD 기반 알고리즘을 사용한 리아푸노프 차원의 수치적 추정을 위한 실용적인 가이드를 제공하기 위해.
• 격자 기반 계산과 궤도 시뮬레이션을 통한 수치적 검증을 통해 하우스도르프 차원에 대한 강력한 상한을 확보하기 위해.

제안 방법

• 통계역학적 가정을 피하는 카프만-요르케 공식에 기반한 엄밀한 리아푸노프 차원 정의를 채택한다.
• 분석을 용이하게 하기 위해 변수 치환을 사용하여 원래의 글루크로프스키-돌잔스키 시스템을 일반화된 로렌츠 유사 시스템으로 변환한다.
• 유한시간 리아푸노프 지수 추정의 수치 정확도를 확보하기 위해 SVD 분해를 통한 리아푸노프 특성 지수 계산을 적용한다.
• 다양한 궤도에 걸쳐 강건성을 확보하기 위해 구동자 위의 초기 조건 격자를 사용하여 최대 유한시간 리아푸노프 차원을 계산한다.
• 유한시간 리아푸노프 지수에 대해 카프만-요르케 공식을 적용한 결과의 상한을 취하여 리아푸노프 차원을 추정한다.
• 특정 파라미터 값(σ=4, A=0.0052, b=1)을 사용한 수치 실험을 통해 자기진동 및 은폐된 구동자의 상한을 비교하여 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 글루크로프스키-돌잔스키 모델의 글로벌 구동자에 대한 리아푸노프 차원은 통계역학적 가정 없이 어떻게 엄밀하게 계산할 수 있는가?
• RQ2 자기진동 및 은폐된 구동자의 리아푸노프 차원 추정 방식에 차이가 발생하는 이유는 그들의 안정성 영역의 구조적 차이 때문인가?
• RQ3 유한시간 리아푸노프 차원은 혼돈 구동자의 하우스도르프 차원에 대해 어느 정도 신뢰할 수 있는 상한을 제공하는가?
• RQ4 복잡한 구동자를 추정하기 위해 카프만-요르케 공식은 수치 시뮬레이션에서 어떻게 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 순발력 동역학과 비균일 수렴성의 영향을 고려할 때, 리아푸노프 차원의 정확하고 재현 가능한 계산을 보장하기 위한 수치 전략은 무엇인가?

주요 결과

• 글루크로프스키-돌잔스키 모델의 글로벌 구동자에 대한 정확한 리아푸노프 차원 공식이 엄밀한 수학적 조건 하에서 도출되었다.
• r=687.5인 자기진동 구동자에 대해 리아푸노프 차원 상한은 2.982747...로 추정되었으며, 이는 하우스도르프 차원에 대한 날카로운 추정이다.
• r=700인 은폐된 구동자에 대해 리아푸노프 차원 상한은 2.983037...로, 다른 동역학적 행동에 기인하여 자기진동 케이스보다 略히 높다.
• 수치 실험을 통해 초기 조건 격자 위에서의 최대 유한시간 리아푸노프 차원이 구동자의 차원에 대한 신뢰할 수 있는 상한을 제공한다는 것이 확인되었다.
• 유한시간 리아푸노프 지수 계산에 SVD 기반 알고리즘을 사용함으로써, 특히 순발력 동역학이 존재할 경우 수치적 안정성과 정확도가 보장된다.
• 본 연구는 리아푸노프 차원이 진정한 기하학적 차원은 아니지만, 분수차원 구동자의 하우스도르프 차원에 대해 강력하고 계산 가능한 상한으로 기능한다는 것을 보여주었다.