[논문 리뷰] The many body problem in relativistic quantum mechanics

M. Moshińsky, A. G. Nikitin|ArXiv.org|2005. 02. 03.

Nuclear physics research studies참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 중심운동량 프레임에서 동일한 스핀-1/2 입자를 위한 Poincaré 불변 n체 해밀토니안을 제안하며, 일반화된 Foldy-Wouthuysen 변환을 사용해 양성 에너지 영역을 분리한다. 캐러몬 및 바티움 스펙트럼을 모델링하기 위해 탄성진동자 위치에너지가 사용되었으며, 결합 강도 $\omega$와 스핀-오비트 결합 매개변수 $\alpha$의 두 자유 매개변수만으로 실험적 질량 분할과 양호한 정량적 일치를 이룩한다. 이 방법은 장 이론 없이도 실현 가능한 상대론적 다체 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We discusse a relativistic Hamiltonian for an n-body problem in which all the masses are equal and all spins take value 1/2. In the frame of reference in which the total momentum $vP=0$, the Foldy-Wouthuysen transformation is applies and the positive energy part of the Hamiltonian is separated. The Hamiltonian with unharmonic oscillator potential is applied to describe mass differences for charmonium and bottonium states.

연구 동기 및 목표

• 단일 시간 변수를 사용하면서도 Poincaré 불변성을 유지하는 상대론적 다체 형식을 개발하는 것.
• 비상대론적 다체 접근 방식과 유사하게, 상대론적 n체 시스템에서 음성 에너지 상태로부터 양성 에너지 해를 체계적으로 분리하는 문제를 다루는 것.
• 같은 스핀-1/2 입자(예: 쿼크레오니)로 구성된 시스템에 대해 관측된 질량 스펙트럼을 재현할 수 있는 다루기 쉬운 상대론적 해밀토니안을 구축하는 것.
• 완전한 양자장 이론을 도입하지 않고도 무거운 쿼크레오니 상태를 기술하는 데 유용한 단순한 위치에너지 모델(탄성진동자 위치에너지에 스핀-오비트 결합 포함)의 실현 가능성과 타당성을 보여주는 것.

제안 방법

• 각 입자에 대해 디랙 유형의 연산자를 사용하여 명백히 Poincaré 불변인 n체 파동방정식을 수립하며, 동일한 질량과 스핀-1/2 입자를 고려한다.
• 운동량 중심 프레임($\mathbf{P} = 0$)에서 Foldy-Wouthuysen 변환을 적용하여 음성 및 양성 에너지 상태를 분리하고 물리적 영역을 고립시킨다.
• 비조화 진동자 위치에너지가 포함된 상대론적 해밀토니안을 사용하며, 매개변수 $\omega$와 $\alpha$를 통해 스핀-오비트 및 스핀-스핀 상호작용을 포함한다.
• 구형 스핀어 니지 기저에서 $\rho^2$, $\pi^2$, $\pi^4$, $\pi^6$, 및 $({\bf S} \cdot \mbox{\boldmath$\pi$})^2$의 행렬 원소를 이용해 에너지 고유값을 유도한다.
• MAPLE 소프트웨어를 사용해 이론적 스펙트럼과 관측된 스펙트럼 간의 편차를 최소화하도록 $\omega$와 $\alpha$를 수치적으로 피팅한다.
• PDG에서 제공하는 실험 데이터와 비교하여 $\Upsilon$ 및 $\Psi$ 상태의 예측 질량 차이를 검증함으로써 모델의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 시간 프레임에서 상대론적 불변성을 유지하면서 Poincaré 불변 n체 해밀토니안을 구성할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 Foldy-Wouthuysen 변환의 일반화를 통해 상대론적 n체 시스템의 양성 에너지 영역을 어떻게 체계적으로 고립시킬 수 있는가?
• RQ3 단순한 탄성진동자 위치에너지에 스핀-오비트 결합을 추가한 모델이 캐러몬 및 바티움 상태의 질량 스펙트럼을 어느 정도 재현할 수 있는가?
• RQ4 상대론적 다체 프레임워크에서 실험적 쿼크레오니 질량 분할과 정량적 일치를 이루기 위해 필요한 최소한의 매개변수 집합은 무엇인가?

주요 결과

• 모델은 $\Upsilon(2S)-\Upsilon(1S)$ 질량 분할을 0.574 GeV로 예측하였으며, 실험값 0.563 GeV과 비교해 약 2%의 상대 편차를 보였다.
• $\Upsilon(3S)-\Upsilon(1S)$ 상태의 경우 이론적 예측은 0.963 GeV, 실험값은 0.895 GeV로 7.6%의 편차를 보였다.
• 모델은 $\Psi(2S)-J/\Psi(1S)$ 분할을 0.589 GeV로 정확히 예측하였으며, 이는 모델의 정밀도 범위 내에서 실험값과 정확히 일치하였다.
• $\xi_{c2}(3P)-J/\Psi(1S)$ 상태는 0.422 GeV로 예측되었으며, 실험값 0.459 GeV과 유사하여 고차 진동자 상태에 대해서도 합리적인 일치를 보였다.
• 피팅된 매개변수 값은 바티움의 경우 $m = 4.7$ GeV, $\omega = 0.378$, $\alpha = 4.7$이며, 캐러몬의 경우 $m = 1.4$ GeV, $\omega = 0.45$, $\alpha = 1.2$였다.
• 강한 물리적 기반 없이도 현상론적 위치에너지만을 사용하였음에도 불구하고, 여러 상태에서 실험 스펙트럼과 양호한 정성적·정량적 일치를 달성하였다.