[논문 리뷰] The mapping class group of a disk with infinitely many holes

Paul Fabel|ArXiv.org|2003. 03. 04.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 경계로 수렴하는 무한 개의 구멍이 있는 디스크의 매핑 클래스 군으로서 왼쪽으로 순서가 지정되고 완전한 매트릭 공간 위상군을 구성한다. 이 군은 아르틴의 무한 브레인 군 $B_\infty$를 그 순서 위상에서 조밀한 부분군으로 포함하며, 경계를 고정하고 구멍들을 치환하는 호메오모르피즘의 몫으로 표현된다. 이 군에는 위상과 호환되는 거리와 왼쪽 순서가 존재하며, $B_\infty$를 군으로서 완비화하는 데 대한 질문을 해결한다.

ABSTRACT

A left orderable completely metrizable topological group is exhibited containing Artin's braid group on infinitely many strands. The group is the mapping class group (rel boundary) of the closed unit disk with a sequence of interior punctures converging to the boundary. This resolves an issue suggested by work of Dehornoy.

연구 동기 및 목표

• 완전한 매트릭스 위상군으로서 $B_\infty$의 완비화에 대한 군의 구조가 $EB_\infty$의 모노이드 구조보다 더 바람직하다는 데호노이의 제안을 해결하기 위해.
• 순서 위상에서 $B_\infty$를 조밀한 부분군으로 포함하는 완전한 매트릭스 위상군을 구성하기 위해.
• 경계로 수렴하는 무한 개의 구멍이 있는 디스크의 매핑 클래스 군에 대해, 몫 위상과 호환되는 왼쪽 순서를 정의하기 위해.
• 경로 성분의 호메오모르피즘과 하우스도르프 거리에 기반한 완전한 거리계를 정의하여 매핑 클래스 군에 완전한 거리계를 수립하기 위해.

제안 방법

• 경계를 고정하고 경계로 수렴하는 구멍의 수열을 보존하는 디스크의 경계 고정 호메오모르피즘 군인 $H_\infty$에 대해, $M(H_\infty) := H_\infty / H_\infty^0$로 매핑 클래스 군을 정의한다.
• 경로 성분의 궤도에 대한 하우스도르프 거리와 호메오모르피즘에 대한 균일 거리의 조합을 통해 $M(H_\infty)$에 완전한 거리 $D$를 구성한다.
• 유한 브레인 군 $B_n$에서 데호노이의 기하학적 왼쪽 순서를 유도하여, 브레인 작용이 연결된 호에서 서로 다를 수 있는 최소 인덱스를 통해 $M(H_\infty)$에 왼쪽 순서를 유도한다.
• 균일한 거리 $D$를 통한 제어를 통해, 한 위상의 열린 집합이 다른 위상의 열린 공을 포함함을 보여, 순서 위상과 몫 위상 간의 호환성을 검증한다.
• 경로 성분 $H_\infty^0 = \bigcap H_n^0$ 이 $H_\infty$ 에서 닫혀 있음을 이용하여 몫 위상이 잘 정의되고 거리가 완비됨을 보장한다.
• $B_\infty$의 직접 극한 구조와 단사 함수 $k_n: B_n \to B_{n+1}$ 를 활용하여 $B_\infty$ 를 $M(H_\infty)$ 에 조밀하게 매장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전한 매트릭스 위상군으로서 $B_\infty$ 를 순서 위상에서 조밀한 부분군으로 포함하는 군을 구성할 수 있는가? 이는 $B_\infty$ 의 군 완비화가 필요 없어지는 해결책이 된다.
• RQ2 경계로 수렴하는 무한 개의 구멍이 있는 디스크의 매핑 클래스 군에 대해, 항등원의 경로 성분에 의해 유도되는 몫 위상과 호환되는 왼쪽 순서가 존재하는가?
• RQ3 데호노이의 왼쪽 순서에 의해 유도된 $B_\infty$ 의 자연스러운 위상이, 동시에 완비이자 왼쪽으로 순서가 지정된 위상군으로 완비화될 수 있는가?
• RQ4 경로 성분의 궤도 폐쇄에 대한 하우스도르프 거리와 디스크에서의 균일 수렴을 이용하여 매핑 클래스 군 $M(H_\infty)$ 에 완전한 거리계를 정의할 수 있는가?
• RQ5 $H_\infty^0$ 이 닫힌 부분군들의 가산 교차로 표현되는 구조가 $M(H_\infty)$ 의 위상과 거리 구조에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 경로 폐쇄에 대한 하우스도르프 거리와 균일 수렴에 기반한 거리 $D$ 를 통해 정의된 $M(H_\infty)$ 는 완전한 매트릭스 위상군이다.
• $M(H_\infty)$ 는 몫 위상과 호환되는 왼쪽 순서를 지니며, 이는 순서 위상과 거리 위상이 일치함을 보장한다.
• 아르틴의 무한 브레인 군 $B_\infty$ 는 순서 위상에서 $M(H_\infty)$ 의 부분군으로 조밀하게 매장되며, 이 매장은 연속적이지만 위상적 매장은 아니다.
• 경로 성분 $H_\infty^0$ 는 $H_\infty$ 에서 닫혀 있으며, 이는 $H_\infty$ 가 국소적으로 연결되어 있지 않기 때문에 비자명한 사실이며, 거리의 완비성에 필수적이다.
• $D(gH_\infty^0, fH_\infty^0) < \varepsilon$ 를 만족하기 위해, 각각 $f_1 \in fH_\infty^0$, $g_1 \in gH_\infty^0$, $f_2 \in f^{-1}H_\infty^0$, $g_2 \in g^{-1}H_\infty^0$ 가 존재하여 $\|f_1 - g_1\| < \varepsilon$ 와 $\|f_2 - g_2\| < \varepsilon$ 가 $D^2$ 전역에서 균일하게 성립함을 정의함으로써 거리 $D$ 가 완비임을 보장한다.
• $M(H_\infty)$ 의 순서 위상은 몫 위상과 호환되며, 한 위상의 열린 집합이 다른 위상의 거리 공을 포함함을 보여, 거리 $D$ 와 외부 영역 $D^2 \setminus D_k$ 에서의 행동에 대한 제어를 통해 검증된다.