[논문 리뷰] The Marcinkiewicz-type discretization theorems

Vladimir Temlyakov|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 10.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 12인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유일한 조합인 확률적 체이닝 기법과 균일 노름에서의 엔트로피 수 추정을 결합하여, 유한차원 부분공간에 속하는 함수의 $L_1$ 노름에 대한 새로운 마르친키에비치 유형의 이산화 정리들을 수립한다. 주요 결과는 $m \ll N(\log N)^{7/2}$ 개의 점으로도 이산화가 가능하다는 것으로, 이상적인 $m = N$ 경우에 거의 도달하며, $L_1$ 및 $L_\infty$ 설정에서 이전의 경계를 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

The paper is devoted to discretization of integral norms of functions from a given finite dimensional subspace. This problem is very important in applications but there is no systematic study of it. We present here a new technique, which works well for discretization of the integral norm. It is a combination of probabilistic technique, based on chaining, with results on the entropy numbers in the uniform norm.

연구 동기 및 목표

• 유한차원 부분공간에 속하는 함수의 적분 노름을 이산화하는 기본 문제를 다루는 것, 특히 $L_1$ 및 $L_\infty$ 설정에서.
• 샘플링 점 수에 대한 명시적 경계를 포함하는 마르친키에비치 유형의 이산화 정리에 대한 체계적인 프레임워크를 개발하는 것.
• 이sov된 이산화와 실용적 수치 적분 사이의 격차를 메우기 위해 등가 가중치를 갖는 체적적분 규칙이 효과적인 조건을 설정하는 것.
• 직교 행렬의 부분행렬에 관한 기존 결과를 $L_1$ 및 $L_\infty$ 노름, 특히 혼합 스무스함 수준의 함수 클래스로 확장하는 것.
• 엔트로피 수가 $X_N$ 에서 $L_\infty$ 노름에서 이산화 가능성을 결정짓는 역할을 분석하는 것, 특히 삼각함수 및 하이퍼볼릭 크로스 다항식에 대해.

제안 방법

• 함수 클래스 위에서의 랜덤 과정의 최대값을 제어하기 위해, 균일 노름에서의 엔트로피 수 추정과 확률적 체이닝 기법을 조합한다.
• 이산화에 필요한 샘플링 점 수의 경계를 유도하기 위해 중심 도구로 엔트로피 수 $\varepsilon_k(X_N^1, L_\infty)$ 를 사용한다.
• 체이닝 방법을 활용하여, 유한차원 부분공간 위에서 경험적 $L_1$ 노름이 진짜 $L_1$ 노름으로부터 벗어나지 않도록 제어한다.
• Rudelson 및 Batson-Spielman-Srivastava 정리와 같은 기존의 직교 행렬의 부분행렬에 관한 결과를 $L_2$ 기반 통찰을 얻기 위한 기초로 활용한다.
• 높은 차원에서의 엔트로피 수를 추정하기 위해 정규화된 딜리클레 커널을 기반으로 한 사전 정의된 사전 자료 기반 근사 체계를 도입한다.
• 엔트로피 및 체이닝 추론을 통해 $\mathcal{M}(m,1,\varepsilon)$ 및 $\mathcal{M}^{w}(m,1,\varepsilon)$ 정리에 필요한 점 수 $m$ 의 경계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한차원 부분공간에 대해 $L_1$ 노름 이산화에 필요한 샘플링 점 수가 $N(\log N)^{7/2}$ 보다 낮게 경계될 수 있는가?
• RQ2 엔트로피 수가 $L_\infty$ 에서 $X_N$ 에 대해 마르친키에비치 유형의 이산화 가능성을 얼마나 제어하는가?
• RQ3 하이퍼볼릭 크로스 다항식에 대해 $\mathcal{M}(m,1)$ 을 $m \asymp |Q_n|$ 으로 달성할 수 있는가, 아니면 $n^{7/2}$ 요소는 피할 수 없는가?
• RQ4 이전에 알려진 $L_\infty$ 에서의 부정적 결과와 비교하여, $L_1$ 결과는 어떠한가? 여기서 $m \gg |Q_n|^{1+c}$ 가 필요하다는 점이 알려져 있다.
• RQ5 $d > 2$ 에 대해 엔트로피 수 추정 $\varepsilon_k(\mathcal{T}(Q_n)_1, L_\infty) \ll n^{3/2}(|Q_n|/k)\log(4|Q_n|/k)$ 이 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $L_1$ 이산화에 대해, 샘플링 점 수 $m$ 이 $m \ll N(\log N)^{7/2}$ 를 만족함으로써 이상적인 $m = N$ 경우에 거의 도달한다.
• 차원 $d=2$ 에서의 엔트로피 수 추정 $\varepsilon_k(\mathcal{T}(Q_n)_1, L_\infty) \ll n^{1/2}(|Q_n|/k)\log(4|Q_n|/k)$ 를 사용하여 $L_1$ 이산화에 최적의 경계를 도출한다.
• 모든 $d$ 에 대해 추정 $\varepsilon_k(\mathcal{T}(Q_n)_1, L_\infty) \ll n^{3/2}(|Q_n|/k)\log(4|Q_n|/k)$ 가 성립하지만, $d=2$ 경우에 비해 더 약한 경계이다.
• 체이닝 기법은 최종 경계에 $n^2$ 요소를 기여하고, 엔트로피 추정은 $n^{3/2}$ 요소를 기여하여 총 점 수에 $n^{7/2}$ 요소가 발생한다.
• $L_\infty$ 이산화에 대해, 논문은 기존의 부정적 결과를 확인한다: $\mathcal{M}(m,\infty)$ 에 대해 $m \gg |Q_n|^{1+c}$ 가 필요하다는 점을 보여, $L_\infty$ 이산화의 근본적인 어려움을 강조한다.
• $m \geq CN\varepsilon^{-2}$ 에 대해 $X_N(\Omega_M) \in \mathcal{M}^w(m,2,\varepsilon)$ 라는 결과는 $L_2$ 에서 가중치 이산화의 강건성을 보여주지만, 논문의 초점은 여전히 $L_1$ 에 있다.