[논문 리뷰] The martingale representation in a progressive enlargement of a filtration with jumps

Kun Tian, Dewen Xiong외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 07.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 밀도 가정 하에 디폴트 시간과 손실을 포함하는 점진적으로 확장된 필터레이션에서 명시적인 마링게일 표현 정리를 수립한다. 조건부 밀도 과정과 생존 과정을 유도하여, P 및 P* 측도 하에서 F-마링게일의 분해와 G-마링게일의 예측 가능 표현을 가능하게 하며, 각 측도에 대해 서로 다른 결과를 도출한다.

ABSTRACT

In this paper, we assume that the filtration $\bb F$ is generated by a $d$-dimensional Brownian motion $W=(W_1,...,W_d)'$ as well as an integer-valued random measure $\mu(du,dy)$. The random variable $ tau$ is the default time and $L$ is the default loss. Let $\mathbb G=\{\scr G_t;t\geq 0\}$ be the progressive enlargement of $\bb F$ by $( tau,L)$, i.e, $\bb G$ is the smallest filtration including $\bb F$ such that $ tau$ is a $\bb G$-stopping time and $L$ is $\scr G_ tau$-measurable. Under the density hypothesis, we consider the $\bb G$-decomposition of a $(P,\bb F)$ martingale and the representation of a $\bb G$-martingale. We characterize the conditional density process by $p_s(s,l)$, $ heta_1(u;s,l)\bb I_{u>s}$ and $ heta_2(u,y;s,l)\bb I_{u>s}$, which allows us to describe the survival process $G$ explicitly. Then we give the explicit $\bb G$-decomposition of a $\bb F$ martingale and obtain the predictable representation theorems both for a $(P,\bb G)$-martingale and a $(P^*,\bb G)$-martingale, which are different as shown in Callegaro, Jeanblanc and Zargari(2010) $^{ ext{\cite{Callegaro-Jeanblanc-Zargari(2010)}}}$.

연구 동기 및 목표

• 디폴트 시간 τ와 디폴트 손실 L에 의한 필터레이션의 점진적 확장을 분석하기 위해.
• 밀도 가정 하에서 조건부 밀도 과정 p_s(s,l), θ₁(u;s,l)𝕀_{u>s}, 및 θ₂(u,y;s,l)𝕀_{u>s}를 유도하기 위해.
• 이 밀도 과정들로써 생존 과정 G를 명시적으로 특성화하기 위해.
• 물리적 측도 P 하에서 F-마링게일의 G-분해를 수립하기 위해.
• P 및 P* 측도 하에서 (P, G)-마링게일과 (P*, G)-마링게일에 대한 예측 가능 표현 정리를 증명하며, 그들의 구조적 차이를 부각하기 위해.

제안 방법

• d차원 브라운 운동 W와 정수 값을 갖는 랜덤 측도 μ로 생성된 필터레이션 F를 모델링하기 위해.
• 디폴트 시간 τ와 디폴트 손실 L에 의한 F의 점진적 확장 G를 정의하며, τ가 G-정지시간이고 L가 G_τ-가측임을 보장하기 위해.
• 디폴트 시간과 손실의 조건부 밀도 과정을 특성화하기 위해 밀도 가정을 가정하기 위해.
• 밀도 과정 p_s(s,l), θ₁(u;s,l)𝕀_{u>s}, 및 θ₂(u,y;s,l)𝕀_{u>s}를 사용하여 생존 과정 G를 명시적으로 유도하기 위해.
• 기리산프 정리와 G-마링게일 분해 기법을 적용하여 F-마링게일의 G-분해를 도출하기 위해.
• P 및 P* 측도 하에서 (P, G)-마링게일과 (P*, G)-마링게일에 대한 예측 가능 표현 정리를 수립하며, 그들의 구조적 차이를 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점진적 필터레이션 확장과 점프를 포함한 디폴트 시간과 손실에서 조건부 밀도 과정은 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ2 밀도 가정 하에서 생존 과정 G는 밀도 과정들로써 어떻게 명시적으로 기술될 수 있는가?
• RQ3 측도 P와 P* 하에서 F-마링게일의 G-분해는 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ4 G-마링게일이 P 및 P* 하에서 예측 가능 표현을 가질 수 있는 조건는 무엇인가?
• RQ5 밀도 과정 θ₁과 θ₂는 G-마링게일의 표현에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 조건부 밀도 과정은 p_s(s,l), θ₁(u;s,l)𝕀_{u>s}, 및 θ₂(u,y;s,l)𝕀_{u>s}로 완전히 특성화되어 생존 과정 G의 명시적 계산을 가능하게 한다.
• 생존 과정 G는 이 밀도 과정들을 사용하여 명시적으로술어지며, 디폴트 강도 동역학에 대한 다루기 쉬운 형태를 제공한다.
• 밀도 가정 하에서 (P, F)-마링게일의 G-분해가 닫힌 형태로 도출된다.
• P-측도 하에서 (P, G)-마링게일에 대한 예측 가능 표현 정리가 수립되며, 브라운 운동 및 점프 성분으로의 표현이 드러난다.
• P*-측도 하에서 (P*, G)-마링게일에 대한 예측 가능 표현 정리는 별도로 유도되며, P-경우와는 다른 구조를 보이며, Callegaro, Jeanblanc, 및 Zargari (2010)에서 언급된 차이를 확인한다.
• 결과적으로, 동일한 필터레이션 확장 하에서도 P 및 P* 하에서 G-마링게일의 표현은 본질적으로 다르다는 것이 입증된다.