[논문 리뷰] The Mass of the Oppenheimer-Snyder Black Hole

Abhas Mitra|arXiv (Cornell University)|1999. 04. 13.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 옹페너하이머-사이먼스 붕괴 모델을 재분석하여, 원래 해에서 시간에 대한 로그 방정식의 수학적 제약 조건에 기반해, 생성된 블랙홀의 중력질량은 반드시 0이어야 한다고 주장한다. 이는 y ≥ 1 조건(여기서 y = r_b / 2M)이 잠김 표면의 형성을 막는다는 것을 보여주며, 일반 상대성 이론의 정확한 수식에 따르면 유한 질량 블랙홀은 이 모델에서 유도될 수 없다는 것을 시사한다.

ABSTRACT

The only instance when the General Relativistic (GTR) collapse equations have been solved (almost) exactly to explicitly find the metric coefficients is the case of a homogeneous spherical dust (Oppenheimer and Snyder in 1939 in Phy. Rev. 56, 455). The equation (37) of their paper showed the formation of an event horizon for a collapsing homogeneous dust ball of mass M in that the circumference radius the outermost surface, r_b = r_0= 2M in a proper time proportional to r_0^{-1/2} in the limit of large Schrarzschild time t= infinity. But Eq.(37) was approximated from the Eq. (36) whose essential character is t = log (y+1/y-1), where, at the boundary of the star y=r_b/ r_0 = r_b /2 M. And since the argument of a logarithmic function can not be negative, one must have y >= 1 or 2M/r_b <= 1. This shows that, atleast, in this case (i) trapped surfaces are not formed, (ii) if the collapse indeed proceeds upto r=0, we must have M=0, and (iii) proper time taken for collapse =infinity. Thus, the gravitational mass of OS black holes are unique and equal to zero. In the preceding paper (astro-ph/9904162), we assumed the existence of a finite mass BH and studied its properties in terms of Kruskal-Szekeres coordinates. And we showed that the radial geodesic of a material particle which must be timelike at r=2M, if M >0, actually becomes null. And this independently showed that BHs have unique mass, M=0.

연구 동기 및 목표

• 유한 질량 블랙홀 형성의 물리적 일관성을 평가하기 위해 원래의 옹페너하이머-사이먼스 방정식을 재표현하고 재분석한다.
• 붕괴 방정식의 정확한 해를 바탕으로, 사건의 지평선 형성 조건 r_b = 2M 가 수학적·물리적으로 타당한지 조사한다.
• t = log(y + 1/y - 1) 형태의 로그 시간 방정식이 잠김 표면 존재 가능성과 블랙홀 최종 질량에 미치는 영향을 검토한다.
• 전통적으로 옹페너하이머-사이먼스 모델이 유한 질량 블랙홀을 생성한다고 보는 견해에 도전하며, M = 0 이 유일한 일관된 해임을 제안한다.
• M > 0 이면 r = 2M 에서 시간적 반경 방향 지오데식선이 영이 되며, 이는 M = 0 이 아닐 경우 모순을 야기하므로 M = 0 이 유일한 일관된 해임을 입증한다.

제안 방법

• 1939년 옹페너하이머와 사이먼스의 논문에서 식 (36)의 정확한 형태를 분석하며, 여기서 t = log(y + 1/y - 1), y = r_b / 2M 이다.
• 로그 함수의 인자 값이 음이 아니어야 한다는 수학적 제약 조건을 적용하여, y ≥ 1 또는 등가로 2M / r_b ≤ 1 이 요구된다.
• y ≥ 1 이면 2M / r_b ≤ 1 이 되며, 이는 r_b → 0 일 때 M > 0 이면 성립하지 않으므로, 잠김 표면 형성은 M = 0 이 아니면 불가능하다는 결론을 이끌어낸다.
• 크루스칼-제케레스 좌표계를 사용하여 r = 2M 에서 반경 방향 지오데식선의 성격을 분석하며, M > 0 이면 시간적 경로가 영이 되는 것을 보여준다.
• 원래 논문에서 사용된 근사식 (37)과 정확한 로그 형태인 식 (36)을 비교하여, M 이 유한하다는 가정의 모순을 드러낸다.
• 일관된 해는 일반 상대성 이론 방정식의 전면적 적용 하에 M = 0 뿐이며, 이는 이 붕괴 모델에서 유한 질량 블랙홀이 형성되지 않는다는 것을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 y < 1 일 때 로그 시간 방정식 t = log(y + 1/y - 1) 이 사건의 지평선 형성 가능성을 허용하는가?
• RQ2 실수 로그를 위해 요구되는 y ≥ 1 조건이 붕괴하는 먼지 구의 질량 M 에 미치는 제약 조건은 무엇인가?
• RQ3 2M / r_b ≤ 1 조건이 성립할 때, M > 0 이면 옹페너하이머-사이먼스 모델에서 잠김 표면이 형성될 수 있는가?
• RQ4 M > 0 이면 r = 0 으로 붕괴하는 데 필요한 고유 시간은 얼마이며, 이는 유한한가?
• RQ5 r = 2M 에서 시간적 지오데식선이 M > 0 이면 왜 영이 되며, 이는 유한 질량 블랙홀 존재 가능성에 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 로그 시간 방정식 t = log(y + 1/y - 1) 는 y ≥ 1 이 요구되며, 이는 2M / r_b ≤ 1 을 의미한다. r_b → 0 일 때 M > 0 이면 이 조건을 만족시킬 수 없으며, 유일한 가능성이 M = 0 이다.
• 잠김 표면 형성은 M = 0 이 아니면 옹페너하이머-사이먼스 모델에서 불가능하다. y ≥ 1 조건이 y < 1 을 금지하기 때문이다.
• M > 0 이면 r = 0 으로 붕괴하는 데 필요한 고유 시간은 무한대로 발산하며, 정확한 해에 따르면 특이점은 유한 시간 내에 도달되지 않는다.
• M > 0 이면 r = 2M 에서 시간적 반경 지오데식선이 영이 되며, 이는 질량이 있는 블랙홀의 조건과 모순되며, M = 0 이 유일한 일관된 해임을 시사한다.
• 크루스칼-제케레스 좌표계를 사용한 분석은 M > 0 이면 r = 2M 에서 영 지오데식선이 생기며, 이는 질량이 있는 블랙홀과 일관되지 않음을 확인한다.
• 옹페너하이머-사이먼스 붕괴 방정식의 오직 일관된 해는 중력질량가 0인 블랙홀, 즉 M = 0 이다.