[논문 리뷰] The $\mathrm{RO}(G)$-Graded Cohomology of the Equivariant Classifying Space $B_G\mathrm{SU}(2)$

Zev Chonoles|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 02.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Burnside 매크리 함수터 코efficient를 갖는 등변 분류공간 BC₂SU(2)의 RO(C₂)-grade Bredon 코hom로를 계산한다. 등변 짝수 차수 자유성 및 곱셈적 비교 정리들을 사용하여, 코호몰로지가 두 원소—차수 4σ에서의 c와 차수 4+4σ에서의 C—에 의해 생성됨을 입증한다. 이 원소들은 c² = ε⁴c + ξ²C 관계를 만족하며, 여기서 ε와 ξ는 한 점의 코호몰로지에 속하는 원소들이다.

ABSTRACT

We compute the additive structure of the $\mathrm{RO}(C_n)$-graded Bredon equivariant cohomology of the equivariant classifying space $B_{C_n}\mathrm{SU}(2)$, for any $n$ that is either prime or a product of distinct odd primes, and we also compute its multiplicative structure for $n=2$. In particular, as an algebra over the cohomology of a point, we show that the cohomology of $B_{C_2}\mathrm{SU}(2)$ is generated by two elements subject to a single relation: writing $σ$ for the sign representation of $C_2$ in $\mathrm{RO}(C_2)$, the generators are an element $c$ in dimension $4σ$ and an element $C$ in dimension $4+4σ$, satisfying the relation $c^2 = ε^4 c + ξ^2 C$, where $ε$ and $ξ$ are elements of the cohomology of a point. Throughout, we take coefficients in the Burnside ring Mackey functor $A$. The key tools used are equivariant "even-dimensional freeness" and "multiplicative comparison" theorems for $G$-cell complexes, both proven by Lewis in [Lew88] and subsequently refined by Shulman in [Shu10], and with the former theorem extended by Basu and Ghosh in [BG16]. The latter theorem enables us to compute the multiplicative structure of the cohomology of $B_{C_2}\mathrm{SU}(2)$ by embedding it in a direct sum of cohomology rings whose structure is more easily understood. Both theorems require the cells of the $G$-cell complex to be attached in a well-behaved order, and a significant step in our work is to give $B_{C_n}\mathrm{SU}(2)$ a satisfactory $C_n$-cell complex structure.

연구 동기 및 목표

• G = Cₙ이고 n이 소수 또는 서로 다른 홀수 소수의 곱인 경우, 등변 분류공간 BCₙSU(2)에 대한 RO(G)-grade Bredon 코호몰로지의 덧셈적 및 곱셈적 구조를 규명하는 것.
• 등변 코호몰로지 정리를 적용할 수 있도록 BCₙSU(2)에 잘 정의된 Cₙ-셀 복합체 구조를 구성하는 것.
• eH∗C₂(BC₂SU(2)+; A)의 곱셈적 구조를 eH∗C₂(S⁰; A) 위의 대수로로 식별하고, 생성자와 관계를 규명하는 것.
• Lewis와 Shulman의 짝수 차수 자유성 및 곱셈적 비교 정리를 등변 코호몰로지 계산에 확장하고 적용하는 것.
• 고정점 부분공간으로의 제약 및 전이 사상들을 통해 생성자 간의 대수적 관계를 검증하는 것.

제안 방법

• Cₙ-표현의 등변 사영 공간들을 사용하여 BCₙSU(2)에 Cₙ-셀 복합체 구조를 구성한다.
• 짝수 차수 자유성 정리( Basu와 Ghosh에 의해 일반화됨)를 적용하여, BCₙSU(2)의 코호몰로지가 짝수 RO(G)-차수에서 한 점의 코호몰로지 위의 자유 모듈로서 자유임을 도출한다.
• 곱셈적 비교 정리(Shulman, Lewis 이후)를 사용하여 BC₂SU(2)의 코호몰로지를 더 단순한 코호몰로지 링의 직합에 매립한다.
• Borel 구성과 여유기호 수열을 통해 제약 및 전이 사상을 활용하여 필터링 단계의 코호몰로지를 분석한다.
• 등변 구와 사영 공간으로부터의 명시적 구성들을 통해 차수 4σ와 4+4σ에서 생성자 c와 C를 식별한다.
• 제약 사상과 비교 정리를 통해 c² = ε⁴c + ξ²C의 이미지를 확인함으로써 이 관계를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n이 소수 또는 서로 다른 홀수 소수의 곱인 경우, BCₙSU(2)의 RO(Cₙ)-grade Bredon 코호몰로지의 덧셈적 구조는 무엇인가?
• RQ2 eH∗C₂(BC₂SU(2)+; A)의 곱셈적 구조는 eH∗C₂(S⁰; A) 위의 대수로서 어떻게 기술되는가?
• RQ3 비교 정리와 셀 복합체 필터링을 통해 곱셈적 구조는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ4 C₂-경우에 코호몰로지 링의 생성자 간의 대수적 관계는 무엇인가?
• RQ5 제약 및 전이 사상은 관계 c² = ε⁴c + ξ²C를 검증하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• Burnside 매크리 함수터 A를 계수로 갖는 RO(Cₙ)-grade Bredon 코호몰로지의 BCₙSU(2)는 짝수 RO(Cₙ)-차수에서 eH∗Cₙ(S⁰; A) 위의 자유 모듈로서 자유이다.
• G = C₂인 경우, eH∗C₂(BC₂SU(2)+; A)는 두 원소—차수 4σ에서의 c와 차수 4+4σ에서의 C—에 의해 대수로서 생성된다.
• 생성자들은 c² = ε⁴c + ξ²C 관계를 만족하며, 여기서 ε와 ξ는 eH∗C₂(S⁰; A)에 속하는 원소들로, ε은 차수 0에, ξ는 차수 2에 있다.
• c의 고정점으로의 제약은 x₀이며, C의 제약은 x₀(ε⁴ + ξ²x₀)이다. 이는 관계와 일관된다.
• 필터링 단계 PH(Wₙ)+의 코호몰로지는 eH∗C₂(PH(Wₙ₋₁)+) ⊕ Σ^{wₙ} eH∗C₂(S⁰; A)와 동형이며, 여기서 wₙ = 4n이다.
• 자연스러운 사상 eH∗C₂(BC₂SU(2)+; A) → lim←− eH∗C₂(PH(Wₙ)+; A)는 동형이며, 이는 코호몰로지의 열린 구조를 확인한다.