[논문 리뷰] The maximal entropy measure detects non-uniform hyperbolicity

Juan Rivera‐Letelier|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 14.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유리 함수에 대한 준초등성과 위상적 콜레-에크만(TCE) 조건이 최대 엔트로피 측도의 성질에 의해 특징지어진다는 것을 보여준다: 준초등성은 코hen 집합에서 측도가 두 배로 증가하는 것과 동치이며, TCE 조건은 작은 구에서 측도에 다항하한이 존재하는 것과 동치이다. 이러한 결과는 카를레슨, 조ーン스, 요코즈의 고전적 정리들을 완전히 포함하는 매력 영역을 가진 유리 함수로 확장하며, 매력 영역이 존 도메인인 경우와 오직 그 경우에만 맵이 준초등성임을 보여준다.

ABSTRACT

We characterize two of the most studied non-uniform hyperbolicity conditions for rational maps, semi-hyperbolicity and the topological Collet-Eckmann condition, in terms of the maximal entropy measure. Using the same tools in the proof of these results we give an extension of a result of Carleson, Jones and Yoccoz, that semi-hyperbolicity characterizes those polynomial maps whose basin of attraction of infinity is a John domain, to rational maps having a completely invariant attracting basin.

연구 동기 및 목표

• 최대 엔트로피 측도의 성질을 이용하여 유리 함수의 준초등성과 TCE 조건을 특징짓는다.
• 다항식 기저가 존 도메인임을 보여주는 카를레슨-조ーン스-요코즈 정리를 완전히 포함하는 매력 영역을 가진 유리 함수로 확장한다.
• 최대 엔트로피 측도가 코헨 집합에서 두 배로 증가하는 것과 오직 그 경우에만 맵이 준초등성임을 보여준다.
• TCE 조건이 작은 구에서 측도의 다항하한과 동치임을 확립한다.

제안 방법

• 반복되는 맵에 대한 국소 전이 성분을 이용해 코헨 집합의 점들에서의 반복의 국소 차수를 정의한다.
• 최대 엔트로피 측도가 코헨 집합에 지지되어 있음을 이용하고, 측도 이론적 추정을 통해 그 두 배 성질을 분석한다.
• 준초등성이 전이 성분의 성장 속도를 제한함으로써 측도의 두 배 성질을 유도함을 증명한다.
• 왜곡 추정과 커버링 추론을 사용하여 공집합의 측도에 대한 다항하한을 이용해 TCE 조건을 확립한다.
• 존 도메인 이론과 투명성 이론을 적용하여 매력 영역의 기하적 성질과 역학적 조건을 연결한다.
• 하이스킨스키와 피글럼의 두 배 측도 결과를 커버링과 왜곡 제어를 통해 유리 함수로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 엔트로피 측도에 어떤 조건이 성립할 경우 유리 함수가 준초등성이 되는가?
• RQ2 코헨 집합에서 작은 구의 측도에 다항하한이 존재하는 것과 TCE 조건이 동치인가?
• RQ3 준초등성에 의한 다항식 기저가 존 도메인임을 특징짓는 결과를 완전히 포함하는 매력 영역을 가진 유리 함수로 확장할 수 있는가?
• RQ4 기본 영역이 존 도메인일 경우, 코헨 집합의 투명성이 존재할 때, 반복적인 임계점이 코헨 집합에 존재하지 않는다는 것은 성립하는가?
• RQ5 TCE 조건 하에서 최대 엔트로피 측도의 다항하한에 대한 최적의 지수 α는 무엇인가?

주요 결과

• 유리 함수는 코헨 집합에서 최대 엔트로피 측도가 두 배로 증가하는 것과 오직 그 경우에만 준초등성이 된다.
• TCE 조건은 모든 x ∈ J(f) 및 r ∈ (0,r₀)에 대해 ρ_f(B(x,r)) ≥ Cr^α 를 만족하는 r₀ > 0, α > 0, C > 0 가 존재할 때 성립한다.
• 하한에서 최적의 지수 α 는 비고(비고 4)에서 명시적으로 특징지어져 있다.
• 완전히 포함된 매력 영역이 존 도메인인 유리 함수는 준초등성임이 보여진다.
• 기본 영역이 존 도메인일 경우, 코헨 집합의 투명성에 의해 반복적인 임계점이 존재하지 않음을 유도할 수 있다.
• 이 결과는 카를레슨-조ーン스-요코즈 정리를 유리 함수로 확장한다: 완전히 포함된 매력 영역을 가진 유리 함수는 오직 그 영역이 존 도메인일 때만 준초등성이 된다.