[논문 리뷰] The maximal order of a class of multiplicative arithmetical functions

László Tóth, Eduard Wirsing|ArXiv.org|2006. 10. 11.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 12인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 소수 거듭제곱에서의 함수 값의 상한과 관련된 무한 곱을 분석하여, 특히 약수 합 함수와 오일러 유형 함수를 포함한 곱셈적 산술 함수의 최대 및 최소 순서를 결정하는 일반적인 정리들을 수립한다. 주요 결과는 이러한 함수들의 최대 순서가 점 渐진적으로 $ e^{\tau} R \log\log n $임을 보여주며, 여기서 $ R $은 정규화된 상한 값들을 포함하는 소수에 대한 곱이다. 이는 $ \sigma(n) $, $ \sigma^*(n) $, $ \phi(n) $에 대한 고전적 결과들을 일반화한다.

ABSTRACT

We prove simple theorems concerning the maximal order of a large class of multiplicative functions. As an application, we determine the maximal orders of certain functions of the type $σ_A(n)= \sum_{d\in A(n)} d$, where A(n) is a subset of the set of all positive divisors of $n$, including the divisor-sum function $σ(n)$ and its unitary and exponential analogues. We also give the minimal order of a new class of Euler-type functions, including the Euler-function $ϕ(n)$ and its unitary analogue.

연구 동기 및 목표

• 특정 케이스를 초월하여 곱셈적 산술 함수의 극값 순서를 결정하는 일반적인 프레임워크의 부재를 보완한다.
• 비음수 곱셈적 함수에 대해 $ f(n)/\log\log n $의 상한극한을 쉽게 계산할 수 있는 정리들을 개발한다.
• $ \sigma(n) $, $ \sigma^*(n) $, $ \phi(n) $ 및 그 유니터리/지수적 유사체에 대한 알려진 결과들을 광범위한 일반화된 약수 함수의 클래스로 확장한다.
• 약수 체계 $ A $ 에 대한 구조적 조건 하에서 오일러 유형 함수 $ \phi_A(n) $ 의 최소 순서를 규명한다.
• 매개변수 $ \rho(p) = \sup_\nu f(p^\nu) $ 와 $ R = \prod_p (1-1/p)\rho(p) $ 를 사용하여 극값 성장률을 통합적으로 규명하는 접근법을 제공한다.

제안 방법

• 각 소수 $ p $ 에 대해 $ \rho(p) = \sup_{\nu \geq 0} f(p^\nu) $ 를 정의하여, 소수 거듭제곱에서 함수의 국소적 최대 기여도를 포괄한다.
• 수렴 조건을 가정하거나 조건적으로 부여하는 $ R = \prod_p (1 - 1/p) \rho(p) $ 를 도입하여, $ f(n) $ 의 점 渐진적 성장률을 지배한다.
• 상한 및 하한을 $ \rho(p) $ 에 대한 조건을 사용하여 $ L(f) = \limsup_{n \to \infty} f(n)/(\log\log n) $ 에 대해 유도하며, 이는 $ \rho(p) \leq 1 + o(\log p / p) $ 와 $ f(p^{e_p}) $ 가 $ \rho(p) $ 를 근사하는 $ e_p = p^{o(1)} $ 의 존재성을 포함한다.
• 약수 체계 $ A $ 를 사용하여, $ A(n) $ 이 $ n $ 의 약수의 부분집합이 되도록 정의하고, 일반화된 함수 $ \sigma_A(n) = \sum_{d \in A(n)} d $ 와 $ \phi_A(n) $ 을 재귀적 복합 항등식을 통해 정의한다.
• 정리들을 $ \sigma_A(n) $ 와 $ \phi_A(n) $ 에 적용하여, 그들의 극값 순서가 $ \rho(p) $ 와 $ R $ 의 수렴성에 따라 달라짐을 보이며, 특히 유니터리 및 지수적 약수에 주의를 기울인다.
• 특수 집합 $ \mathcal{S} $ 에서 $ \rho(p) = \infty $ 인 소수에 대해 $ \prod_{p \in \mathcal{S}} (1 - 1/p) $ 를 통해 기여도를 분리하여, $ \sum_{p \in \mathcal{S}} 1/p < \infty $ 일 때 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 넓은 범위의 곱셈적 산술 함수의 최대 순서의 일반적 형태는 무엇인가?
• RQ2 $ \rho(p) $ 와 전역 곱 $ R $ 에 따라 $ f(n)/(\log\log n) $ 의 상한극한이 어떻게 유계화될 수 있는가?
• RQ3 $ L(f) = e^{\gamma} R $ 이 되는 조건은 무엇이며, 최대 순서가 발산하는 경우는 언제인가?
• RQ4 일반화된 약수 함수 $ \sigma_A(n) $ 와 $ \phi_A(n) $ 의 극값 순서는 약수 체계 $ A $ 의 구조에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 $ \phi_A(n) $ 의 최소 순서는 무엇이며, $ \inf \phi_A(p^\nu)/p^\nu $ 와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 일반화된 약수 함수 $ \sigma_A(n) $ 의 최대 순서는 $ \limsup_{n \to \infty} \frac{\sigma_A(n)}{n \log\log n} = e^{\gamma} \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right) \sup_{\nu} \frac{\sigma_A(p^\nu)}{p^\nu} $ 를 만족하며, 조건 $ \sigma_A(p^{e_p}) \geq p^{e_p} + p^{e_p - 1} $ 와 $ e_p = p^{o(1)} $ 를 만족할 경우에 성립한다.
• 표준 약수 함수 $ \sigma(n) $ 에 대해 이는 고전적 결과 $ \limsup_{n \to \infty} \frac{\sigma(n)}{n \log\log n} = e^{\gamma} $ 를 회복하며, 이는 $ R = 1 $ 이기 때문이다.
• 유니터리 약수 함수 $ \sigma^*(n) $ 에 대해 이 결과는 $ \limsup_{n \to \infty} \frac{\sigma^*(n)}{n \log\log n} = e^{\gamma} \cdot \frac{6}{\pi^2} $ 를 도출한다. 왜냐하면 $ R = \prod_p (1 - 1/p)(1 + 1/p) = \zeta(2)^{-1} = 6/\pi^2 $ 이기 때문이다.
• 오일러 유형 함수 $ \phi_A(n) $ 의 최소 순서는 $ \liminf_{n \to \infty} \frac{\phi_A(n) \log\log n}{n} = e^{-\gamma} \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{-1} \inf_{\nu} \frac{\phi_A(p^\nu)}{p^\nu} $ 를 만족하며, $ A $ 와 $ e_p $ 에 대한 조건이 충족될 경우에 성립한다.
• $ \phi(n) $ 와 $ \phi^*(n) $ 에 대해 이는 알려진 결과 $ \liminf_{n \to \infty} \frac{\phi(n) \log\log n}{n} = e^{-\gamma} $ 를 회복한다. 왜냐하면 $ \inf \phi(p^\nu)/p^\nu = 1 - 1/p $ 이고 $ \prod_p (1 - 1/p)^{-1} = \infty $ 이지만, $ p > 2 $ 에 대한 곱은 수렴하며, $ (1 - 1/2)^{-1} $ 는 $ \mathcal{S} = \{2\} $ 를 통해 처리되기 때문이다.
• 즉, $ \rho(2) = \infty $ 인 경우에도 $ \sum_{p \in \mathcal{S}} 1/p < \infty $ 이면 최소 순서는 유한하게 유지되며, 유한 개의 소수에서의 발산이 극값 곱의 수렴을 파괴하지 않음을 보여준다.