[논문 리뷰] The maximum distinctness of physical systems

Norman Margolus|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 30.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한한 구별 가능성(정규직교 양자 상태의 최대 수로 측정되는)이 물리계에서 에너지, 운동량, 작용과 같은 기본 물리량을 정의함을 밝힌다. 뉴퀴스트의 대역폭 한계를 양자 역학으로 일반화함으로써, 시간과 공간에서의 유한한 해상도가 구별 가능성의 한계에서 기인함을 보여주며, 이로 인해 시공간은 효과적으로 이산적이 되고, 작용 원리가 서로 다른 상태를 세는 원리로 재구성된다.

ABSTRACT

The limited distinctness of physical systems is roughly expressed by uncertainty relations. Here we show distinctness is a finite resource we can exactly count to define basic physical quantities, limits to the resolution of space and time, and informational foundations for classical mechanics. Our analysis generalizes quantum speed limits: we count the distinct (orthogonal) states that can occur in a finite length of unitary change. As in Nyquist's bound on distinct signal values in classical waves, widths of superpositions bound the distinct states per unit length -- and basic conserved quantities are widths. Maximally distinct unitary evolution is effectively discrete -- and this characterizes classical systems. [see also Popular Summary in arxiv ancillary files]

연구 동기 및 목표

• 유한한 구별 가능성—정규직교 양자 상태의 수를 세는 것—이 에너지, 운동량, 작용과 같은 기본 물리량을 정의함을 입증하는 것.
• 뉴퀴스트의 고전적 대역폭 한계를 양자 역학으로 일반화하여, 주파수 폭이 시간 또는 공간에서 구별 가능한 상태의 수를 제한함을 보여주는 것.
• 연속적인 시공간 역학이 유한한 구별 가능성에 의해 제약을 받을 경우, 심지어 연속 대칭성이 유지되더라도 효과적으로 이산적이 된다는 것을 보여주는 것.
• 최소 작용 원리를, 진동 중 구별 가능한 상태의 수를 세는 원리로 재구성하는 것—즉, 최소 구별 운동 원리로 재정의하는 것.
• 에너지 및 운동량의 제약이 함께 작용함으로써 양자 계산에서 발생하는 명백한 역설을 해결하는 것—유한한 자원 제약이 유지됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 유한한 진동 동안 정규직교 상태의 수로 측정되는 구별 가능성을 갖는 양자 중첩의 유니터리 진동을 물리적 역학을 모델링하는 데 사용한다.
• 뉴퀴스트로부터 일반화된 푸리에 분석의 대역폭 제약을 에너지, 운동량, 각운동량 스펙트럼에 적용하여 구별 가능한 상태의 수를 제한한다.
• 모든 잘 정의된 고유값 분포의 폭(예: 에너지, 운동량)에 대해, 폭과 진동 시간의 곱이 순서상의 상수 인자까지는 최대 구별 가능한 상태 수를 근사함을 도출한다.
• 최소 대역폭 분포(예: 에너지 고유값의 균일한 직사각형 분포)를 분석하여, 구별 가능성에 대해 가장 날카로운 경계를 확보한다.
• 에너지 제약이 운동량 및 신호 속도의 국소화 조건으로 인해 시간 지연 단계의 중첩이 에너지 제약을 위반하지 않음을 보여줌으로써 고전적 계산에 이 형식을 적용한다.
• 최대 구별 가능한 양자 진동의 극한으로서 고전역학을 재해석하며, 엔트로피와 작용이 상태 수에서 기인함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 수의 구별 가능한 양자 상태가 물리적 진동의 최대 속도를 어떻게 제약하는가?
• RQ2 에너지, 운동량, 작용과 같은 기본 물리량을 유니터리 진동에서 정규직교 상태의 수로 해석할 수 있는가?
• RQ3 유한한 구별 가능성은 연속 대칭이 유지되더라도 시공간의 효과적 이산성을 어느 정도 암시하는가?
• RQ4 에너지 및 운동량의 제약이 함께 작용함으로써, 시간 지연된 고전적 계산의 중첩이 단위 스텝 당 에너지 제약을 위반하지 않는 이유는 무엇인가?
• RQ5 작용이 구별 가능한 상태를 세는 데 어떤 역할을 하는가? 그리고 이는 최소 작용 원리를 어떻게 재구성하는가?

주요 결과

• 유한한 시간 내에서 유니터리 진동에 참여하는 정규직교 상태의 최대 수는 에너지 대역폭과 진동 시간의 곱에 의해 제한되며, 순서상의 상수 인자까지는 그러하다.
• 에너지 고유값 $ N $개가 $ h/T $ 간격으로 분포하는 균일한 분포는 시간 $ T $ 내에서 $ N $개의 구별 가능한 상태에 대해 최소 대역폭을 달성하며, 이는 경계 $ \frac{2(E - E_0)}{h} \geq \frac{N - 1}{T} $ 를 확인한다.
• 유한한 구별 가능성은 연속적인 시공간 역학이 효과적으로 이산적임을 암시한다: 전체 진동은 시간과 공간의 이산적 점들에서의 값으로 결정된다.
• 최소 작용 원리는 구별 가능한 상태의 수를 세는 원리로 재해석되며, 이는 최소 구별 운동 원리로 재정의된다.
• 고전역학은 최대 구별 가능한 양자 진동의 극한으로서 나타나며, 유한한 엔트로피와 고전적 에너지/운동량은 상태 수에서 기인한다.
• 기저 상태 에너지는 시스템 내에서 새로운 정규직교 상태를 생성할 수 없기 때문에, 구별 가능한 변화에 기여하지 않는다.