[논문 리뷰] The maximum forcing number of polyomino

Liqiong Xu, Yuqing Lin외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 03.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 원소 다면체의 최대 강제 수가 그의 클라르 수와 같음을 증명하여, 이러한 그래프에 대한 최대 강제 수를 다항식 시간 내에 계산할 수 있음을 보여준다. 이 결과는 원소가 아닌 다면체와 육각형 구조로 확장되며, 이를 원소 성분과 고정 결합으로 분해하여, 모든 이분법적이고 2연결이며 평면적인 그래프에서 최대 강제 수를 다항식 시간 내에 계산할 수 있음을 입증한다. 이러한 그래프는 완벽 매칭을 가진다.

ABSTRACT

The forcing number of a perfect matching $M$ of a graph $G$ is the cardinality of the smallest subset of $M$ that is contained in no other perfect matchings of $G$. For a planar embedding of a 2-connected bipartite planar graph $G$ which has a perfect matching, the concept of Clar number of hexagonal system had been extended by Abeledo and Atkinson as follows: a spanning subgraph $C$ of is called a Clar cover of $G$ if each of its components is either an even face or an edge, the maximum number of even faces in Clar covers of $G$ is called Clar number of $G$, and the Clar cover with the maximum number of even faces is called the maximum Clar cover. It was proved that if $G$ is a hexagonal system with a perfect matching $M$ and $K'$ is a set of hexagons in a maximum Clar cover of $G$, then $G-K'$ has a unique 1-factor. Using this result, Xu {\it et. at.} proved that the maximum forcing number of the elementary hexagonal system are equal to their Clar numbers, and then the maximum forcing number of the elementary hexagonal system can be computed in polynomial time. In this paper, we show that an elementary polyomino has a unique perfect matching when removing the set of tetragons from its maximum Clar cover. Thus the maximum forcing number of elementary polyomino equals to its Clar number and can be computed in polynomial time. Also, we have extended our result to the non-elementary polyomino and hexagonal system.

연구 동기 및 목표

• 원소 다면체의 최대 강제 수를 다항식 시간 내에 계산할 수 있다는 추측을 해결하기 위해.
• 다면체에서 최대 강제 수와 클라르 수 사이의 관계를 설정하기 위해.
• 비원소 다면체와 육각형 구조로 최대 강제 수의 다항식 시간 계산 가능성을 일반화하기 위해.
• 원소 성분과 고정 결합으로 분해하는 기반에 기반한 계산 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 원소 다면체의 최대 클라르 커버에서 모든 사각형을 제거하면 유일한 완벽 매칭을 가진 그래프가 된다는 것을 증명한다.
• 이 유일성으로 인해 원소 다면체의 최대 강제 수가 그의 클라르 수와 같다는 것을 보여준다.
• 기존의 선형 프로그래밍을 통한 클라르 수 계산 알고리즘을 활용하여 최대 강제 수를 다항식 시간 내에 계산한다.
• 비원소 다면체와 육각형 구조를 원소 성분과 고정 결합으로 분해하는 기법을 적용한다.
• 비원소 그래프의 최대 강제 수가 그의 원소 성분들의 최대 강제 수의 합과 같다는 사실을 이용한다.
• 이분법적 그래프에서 완벽 매칭이 존재할 경우, 원소 성분과 고정 결합을 O(|E| + |V|) 시간 내에 식별하는 알고리즘을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원소 다면체의 최대 강제 수가 그의 클라르 수와 같은가?
• RQ2 원소 다면체의 최대 강제 수를 다항식 시간 내에 계산할 수 있는가?
• RQ3 최대 강제 수와 클라르 수 사이의 등식이 비원소 다면체와 육각형 구조로 확장되는가?
• RQ4 비원소 다면체와 육각형 구조의 최대 강제 수를 계산하는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇인가?

주요 결과

• 원소 다면체의 최대 강제 수는 그의 클라르 수와 같다.
• 원소 다면체의 최대 강제 수는 다항식 시간 내에 계산할 수 있다.
• 비원소 다면체와 육각형 구조의 경우, 최대 강제 수는 그들의 원소 성분들의 최대 강제 수의 합과 같다.
• 비원소 그래프를 원소 성분과 고정 결합으로 분해하는 것은 O(|E| + |V|) 시간 내에 수행될 수 있다.
• 완전 매칭을 가진 모든 다면체 또는 육각형 구조의 최대 강제 수는 다항식 시간 내에 계산할 수 있다.
• 이전의 원소 육각형 구조에 대한 결과는 모든 이분법적이고 2연결이며 평면적인 그래프로 일반화된다.