[논문 리뷰] The Maximum Likelihood Degree of Linear Spaces of Symmetric Matrices

Carlos Améndola, Lukas Gustafsson외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 01.

Approximation Theory and Sequence Spaces인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다변량 정규 모델에서 대칭 행렬의 선형 공간의 최대우도도(ML degree)를 계산하며, 선기하학을 통한 공식과 교차 이론의 세그레 계수를 이용한 두 가지 새로운 공식을 도입한다. 또한 차원 수가 1인 경우의 ML degree를 완전히 특성화하고, 차원 3인 경우의 모든 ML degree를 분류하여, ML degree가 0인 특수한 경우를 해결한다.

ABSTRACT

We study multivariate Gaussian models that are described by linear conditions on the concentration matrix. We compute the maximum likelihood (ML) degrees of these models. That is, we count the critical points of the likelihood function over a linear space of symmetric matrices. We obtain new formulae for the ML degree, one via Schubert calculus, and another using Segre classes from intersection theory. We settle the case of codimension one models, and characterize the degenerate case when the ML degree is zero.

연구 동기 및 목표

• 다변량 정규 분포에서 선형 농도 모델의 최대우도도를 계산하는 것.
• 선기하학과 교차 이론의 세그레 계수를 이용한 ML degree에 대한 새로운 공식을 제공하는 것.
• 차원 수가 1인 선형 공간에 대한 ML degree를 완전히 특성화하는 것.
• 3×3 대칭 행렬의 선형 공간을 그 ML degree에 따라 분류하는 것.
• ML degree가 0인 특이한 경우를 식별하고 특성화하는 것.

제안 방법

• 선형 공간 L ⊆ Sn 내의 가역 행렬의 역행렬의 조합의 조각을 포함하는 자리키 폐쇄인 역행렬 다양체 L⁻¹을 정의한다.
• 로그우도의 임계점을 세기 위해 L⁻¹ ∩ (L⊥ + S)의 교차를 사용하며, S는 일반적이다.
• 선기하학을 적용하여 ML degree를 L⁻¹에 제한된 사영 사상 πL⊥의 차수로 표현한다.
• 교차 이론의 세그레 계수를 활용하여 ML degree에 대한 두 번째 공식을 유도한다.
• 테라치니의 보조정리와 일반적인 섬유 분석을 통해 교차의 일반성과 다중도 없는 성질을 확보한다.
• 기하학적 조건을 통해 ML degree가 0인 경우를 특성화하며, 이는 L⁻¹과 L⊥이 동일한 초평면에 포함되거나, 변형에 대해 행렬식이 불변일 경우를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가우시안 모델에서 대칭 행렬의 선형 공간의 최대우도도는 무엇인가요?
• RQ2 선기하학과 세그레 계수를 사용하여 ML degree는 어떻게 계산할 수 있나요?
• RQ3 차원 수가 1인 선형 공간의 ML degree는 무엇이며, 이는 어떤 해석자 행렬에 따라 달라지나요?
• RQ4 선형 공간의 ML degree가 0이 되는 필요 및 충분 조건은 무엇인가요?
• RQ5 3×3 대칭 선형 공간 중에서 ML degree가 0인 것은 무엇이며, 어떻게 분류될 수 있나요?

주요 결과

• 차원 수가 1인 경우, ML degree는 해석자 행렬의 랭크에서 1을 뺀 값과 같다.
• ML degree는 교차 이론의 세그레 계수를 이용한 공식으로 주어진다.
• 선형 공간의 ML degree가 0이 되는 것은 그 역행렬 다양체 L⁻¹과 해석자 L⊥이 동일한 초평면에 포함될 때이고, 그 경우에만 성립한다.
• 특이한 경우인 ML degree가 0인 경우는 일반적인 L의 원소에서 특정 방향으로 변형해도 행렬식이 불변일 때 정확히 발생하며, 이를 레이마 6.5로 형식화하였다.
• S³에서 ML degree가 0인 선형 부분공간은 정확히 다섯 개의 동치류를 가지며, 이 중 특수한 경우로 L⁻¹과 L⊥이 동일한 초평면에 포함되어 있지 않지만, 그 합집합이 L⁻¹이 되는 경우가 포함되어 있다.
• S³의 4차원 부분공간 중에서 ML degree가 0인 경우(동치에 따라 유일한 경우)는 세그레 기호 [2;;1]을 가지며, 이는 L⊥ 내의 특이한 선형 결합에 해당한다.