[논문 리뷰] The maximum maximum of a martingale with given $n$ marginals

Pierre Henry‐Labordère, Jan Obłój외 2명|Oxford University Research Archive (ORA) (University of Oxford)|2012. 03. 30.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 29인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 주어진 유한 개의 중간 시간에서의 변동성을 갖는 연속 마르티ン게일의 최대값 분포에 대한 날카운 상계를 도출한다. 이는 확률적 제어를 통해 유도된 경로 기반 부등식을 사용하여 이루어지며, 이 상계는 최적이며 n-모ーメ널 Azéma-Yor 임베딩에 의해 달성되며, 변동성 불확실성 하에서 룩백 옵션에 대한 최소 초과헤지 비용을 제공한다.

ABSTRACT

We obtain bounds on the distribution of the maximum of a martingale with fixed marginals at finitely many intermediate times. The bounds are sharp and attained by a solution to $n$-marginal Skorokhod embedding problem in Obłój and Spoida [An iterated Azéma-Yor type embedding for finitely many marginals (2013) Preprint]. It follows that their embedding maximizes the maximum among all other embeddings. Our motivating problem is superhedging lookback options under volatility uncertainty for an investor allowed to dynamically trade the underlying asset and statically trade European call options for all possible strikes and finitely-many maturities. We derive a pathwise inequality which induces the cheapest superhedging value, which extends the two-marginals pathwise inequality of Brown, Hobson and Rogers [Probab. Theory Related Fields 119 (2001) 558-578]. This inequality, proved by elementary arguments, is derived by following the stochastic control approach of Galichon, Henry-Labordère and Touzi [Ann. Appl. Probab. 24 (2014) 312-336].

연구 동기 및 목표

• 주어진 유한 시간에서의 마르티ン게일의 변동성 분포가 고정되어 있을 때, 그 최대값의 분포에 대한 날카운 상계를 도출하는 것.
• 상계가 n-모멘털 Skorokhod 임베딩 문제의 해에 의해 달성됨을 입증하여, 최대값을 최대화하는 임베딩을 규명하는 것.
• 볼래티리티 불확실성 하에서 룩백 옵션에 대한 최소 준정적 초과헤지 전략을 유도하는 경로 기반 부등식을 제공하는 것.
• Brown, Hobson, 그리고 Rogers의 이중 모멘털 경로 기반 부등식을 확장하여, 확률적 제어 기법을 사용해 n-모멘털 경우로 일반화하는 것.
• 최적 헤지가 동적 트레이딩과 유럽형 옵션에 대한 정적 포지션의 조합으로 이루어지며, 라그랑주 승수들이 최적 정적 헤지 포지션에 해당함을 보여주는 것.

제안 방법

• Possamaï 등의 이중성 결과를 적용하여, 변동성 제약 조건이 있는 최소-최대 계산변화 문제로 복잡한 강건 초과헤지 문제를 재구성하는 것.
• 확률적 제어 기법을 사용하여 유도된 최적화 문제를 명시적으로 해결하고, Azéma-Yor 임베딩의 확장된 최적 성질을 복원하는 것.
• 확률적 해석 도구에 의존하지 않는 경로 기반 부등식을 유도하여, 중간 변동성과 최적 헤지 구성 요소로 최대 과정을 제한하는 것.
• 제어 해에서 유도된 행사가에 의존하는 가중치를 갖는 표준 옵션에 대한 동적 트레이딩과 정적 포지션의 조합으로 최적 헤지를 구성하는 것.
• 확률적 분석 도구에 의존하지 않고, 기본적인 추론을 사용하여 경로 기반 부등식을 독립적으로 검증하는 것.
• Obłój과 Spoida의 n-모멘털 Skorokhod 임베딩을 사용할 경우 부등식에서 등호가 성립함을 보여, 상계의 최적성을 입증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 n개의 중간 시간에서의 마르티ン게일의 변동성이 주어졌을 때, 그 최대값 분포에 대한 가장 날카로운 상계는 무엇인가?
• RQ2 볼래티리티 불확실성 하에서 룩백 옵션에 대한 최적 초과헤지 전략을 특정 확률 모델을 가정하지 않고 경로 기반 방식으로 특성화할 수 있는가?
• RQ3 강건한 가격 정책 프레임워크에서 최적 정적 및 동적 헤지 포지션은 중간 변동성 분포와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 n-모멘털 Azéma-Yor 임베딩은 주어진 변동성을 갖는 모든 임베딩 중에서 기대 최대값을 최대화하는 유일한 임베딩인가?
• RQ5 다중 만기의 룩백 옵션에 대해 최소 초과헤지 비용을 유도하는 경로 기반 부등식을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 최대값 분포에 대한 상계는 날카롭고, Obłój과 Spoida(2013)의 n-모멘털 Skorokhod 임베딩 해에 의해 달성된다.
• 논문에서 유도된 경로 기반 부등식은 볼래티리티 불확실성 하에서 룩백 옵션에 대한 최소 준정적 초과헤지 비용을 유도한다.
• 최적 헤지는 기초 자산에 대한 동적 트레이딩과 모든 행사가 및 n개의 만기에서의 유럽형 옵션에 대한 정적 포지션의 조합으로 이루어진다.
• 이중성 공식화에서의 라그랑주 승수들은 정확히 표준 옵션에 대한 최적 정적 헤지 포지션에 해당한다.
• 상계는 다른 마르티ン게일이 동일한 변동성을 갖는 경우에 비해 확률 순서상 더 높은 최대값 분포를 달성할 수 없기 때문에 최적임을 의미한다.
• 임베딩의 최적성은 최적 정지 경계에서의 탈진이 경로 기반 부등식을 엄격하게 위반함을 보여, 해의 최적성에 모순됨을 입증함으로써 증명된다.