[논문 리뷰] The maximum number of cliques in graphs without long cycles

Ruth Luo|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 25.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Kopylov의 긴 사이클이 없는 2-연결 그래프에 대한 간선 최대화 결과를 일반화하여, 이러한 그래프에서 고정된 크기의 클리크 수에 대한 상한을 구한다. 이는 둘레가 $k$ 미만일 경우, 간선 수를 최대화하는 동일한 극값 그래프 $H_{n,k,2}$ 및 $H_{n,k,t}$가 $s$-클리크 수를 최대화함을 보이며, $C_k$-free 및 $P_k$-free 그래프에서 $N_s(G)$에 대한 날카운 상한을 제공한다.

ABSTRACT

The Erdős--Gallai Theorem states that for $k\geq 3$ every graph on $n$ vertices with more than $\frac{1}{2}(k-1)(n-1)$ edges contains a cycle of length at least $k$. Kopylov proved a strengthening of this result for 2-connected graphs with extremal examples $H_{n,k,t}$ and $H_{n,k,2}$. In this note, we generalize the result of Kopylov to bound the number of $s$-cliques in a graph with circumference less than $k$. Furthermore, we show that the same extremal examples that maximize the number of edges also maximize the number of cliques of any fixed size. Finally, we obtain the extremal number of $s$-cliques in a graph with no path on $k$-vertices.

연구 동기 및 목표

• 긴 사이클이 없는 2-연결 그래프에 대한 Kopylov의 극값 간선 결과를 고정된 크기 $s$의 클리크 수로 확장한다.
• 둘레가 $k$ 미만인 그래프에서 $s$-클리크의 최대 수를 구하며, Erdős–Gallai 정리를 클리크 수 설정으로 일반화한다.
• 간선 수를 최대화하는 동일한 극값 그래프 $H_{n,k,2}$ 및 $H_{n,k,t}$가 동일한 조건 하에서 $s$-클리크 수를 최대화함을 보인다.
• $P_k$-free 그래프에서 $s$-클리크 수에 대한 극값 상한을 유도하며, 일반화된 Turán 유형 결과를 수립한다.

제안 방법

• extremal 그래프 $H_{n,k,a}$에서 $s$-클리크 수를 유 bounds하기 위해 $f_s(n,k,a) = \binom{k-a}{s} + (n-k+a)\binom{a}{s-1}$를 정의한다. 이 함수는 $[1, \floor{(k-1)/2}]$에서 $a$에 대해 볼록함을 이용한다.
• 그래프의 블록-자르기 트리의 블록 수에 대한 귀납법을 사용하여, 둘레가 $k$ 미만인 그래프의 $N_s(G)$에 대한 상한을 증명한다.
• $(t+1)$-disintegration 및 $k$-closure 기법을 적용하여, 긴 사이클이 생기지 않도록 그래프의 구조를 분석한다. 이는 $k+1$ 이상의 길이의 사이클이 생기지 않도록 보장한다.
• $P_k$-free 그래프를 2-연결 그래프로 변환하기 위해 지배 정점(dominating vertex)을 구성함으로써, 2-연결 극값 상한을 적용할 수 있도록 한다.
• 플래그 대수 유사한 disintegration 추론을 사용하여, 장기적 사이클을 피하기 위해 그래프의 코어가 완전 그래프여야 함을 보인다.
• 유도된 클리크 수를 극값 함수 $f_s(n,k,2)$ 및 $f_s(n,k,t)$와 비교하여 날카운 상한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 둘레가 $k$ 미만인 2-연결 $n$-정점 그래프에서 $s$-클리크의 최대 수는 얼마인가?
• RQ2 간선 수를 최대화하는 동일한 극값 그래프 $H_{n,k,2}$ 및 $H_{n,k,t}$가 고정된 $s$에 대해 $s$-클리크 수를 최대화하는가?
• RQ3 $k$개 정점을 갖는 경로를 포함하지 않는 그래프에서 $s$-클리크의 극값 수는 얼마인가?
• RQ4 Kopylov와 Erdős–Gallai의 극값 간선 상한을 클리크 수 설정으로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 둘레가 $k$ 미만인 2-연결 $n$-정점 그래프에서 $s$-클리크의 최대 수는 $\max\{f_s(n,k,2), f_s(n,k,t)\}$이며, 여기서 $t = \lfloor(k-1)/2\rfloor$이다.
• 간선 수를 최대화하는 극값 그래프 $H_{n,k,2}$ 및 $H_{n,k,t}$는 고정된 $s$에 대해 $s$-클리크 수를 최대화한다.
• $P_k$-free 그래프의 경우, $s$-클리크의 최대 수는 $\max\{f_s(n,k-1,1), f_s(n,k-1,t)\}$로 유계되며, 여기서 $t = \lfloor(k-2)/2\rfloor$이다.
• $C_k$-free 그래프에서 $N_s(G)$의 상한은 날카롭고, 간선의 경우와 동일한 극값 구성으로 달성된다.
• $P_k$-free 그래프에서 $N_s(G)$의 상한은 $h_s(n,k) = \frac{n}{k-1}\binom{k-1}{s}$이며, $n \geq k$일 때 날카롭다.
• 증명 기법은 장기적 사이클을 방지하면서도 클리크 수를 유지하는 $t$-disintegration 및 클로처 연산에 기반한다.