[논문 리뷰] The maximum number of triangles in graphs without the square of a path

Yichen Wang, Győri, Ervin|arXiv (Cornell University)|2026. 01. 14.

Limits and Structures in Graph Theory인용 수 0

한 줄 요약

논문은 n ≥ 11일 때 ex(n, K3, P6^2) 를 정확히 결정하고 이 경계를 달성하는 극값 그래프를 식별한다.

ABSTRACT

The generalized Turán number for $H$ of $G$, denoted by $\ex(n,H,G)$, is the maximum number of copies of $H$ in an $n$-vertex $G$-free graph. When $H$ is an edge, $\ex(n,H,G)$ is the classical Turán number $\ex(n,G)$. Let $P_k$ be the path with $k$ vertices. The square of $P_k$, denoted by $P_k^2$, is obtained by joining the pairs of vertices with distance at most two in $P_k$. The Turán number of $P_k^2$, $\ex(n, P_k^2)$, was determined by several researchers. When $k=3$, $P_3^2$ is the triangle and $\ex(n, P_3^2)$ is well-known from Mantel's theorem. When $k=4$, $\ex(n, P_4^2)$ was solved by Dirac in a more general context. When $k=5,6$, the problem was solved by Xiao, Katona, Xiao, and Zamora. For general $k \ge 7$, the problem was solved by Yuan in a more general context. Recently, Mukherjee determined the generalized Turán number $\ex(n, K_3, P_5^2)$. In this paper, we determine the exact value of $\ex(n, K_3, P_6^2)$ and characterize all the extremal graphs for $n \ge 11$.

연구 동기 및 목표

• 그래프 이론에서 일반화 터완 수와 그래프의 경로 제곱에 대한 이해를 촉진한다.
• 큰 n에 대해 ex(n, K3, P6^2)의 정확한 값을 결정하고 극값 그래프를 특성화한다.
• 격자 유사 삼각 그래프 및 관련 구조에서 삼각형 개수에 대한 이해를 확장한다.

제안 방법

• 방전 기법을 활용하여 P6^2-무결 그래프에서 삼각형 개수를 간선 개수와 관계시키기
• G의 블록을 네 가지 유형(K5−-블록, K4-블록, TP2-블록, suspension-블록)으로 분류하고 기여도를 분석
• 블록에 따라 간선을 색칠하여 파란색(삼각형이 없는) 성분과 빨간 성분을 구분하고 상한을 도출
• 기저 이분 그래프 부분이 거의 최대일 때 근접 터완 구조를 기술하는 명제를 적용
• 방전 기법을 통해 t(G) ≤ e(G)의 상한을 도출하고, 이를 알려진 극값 수로 e(G)을 상한하여 ex(n, K3, P6^2)에 도달
• 다른 n 모듈로 6에 대해 정확한 극값 그래프를 제공하고 최적성을 검증

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n-정점 P6^2-제거 그래프에서 삼각형의 정확한 최대 수는 얼마인가?
• RQ2 큰 n에 대해 ex(n, K3, P6^2)를 달성하는 극값 그래프는 무엇인가?
• RQ3 블록의 구조(K5−-, K4-, TP2-, suspension-blocks)가 삼각형 개수를 어떻게 제약하는가?
• RQ4 방전 기법과 근접 터완(near-Turán) 주장들을 어떻게 결합하여 삼각형 개수를 간선 개수로 상한할 수 있는가?
• RQ5 결과가 n을 6로 나눈 나머지에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• n ≥ 11인 경우, ex(n, K3, P6^2) = floor(n^2/4) + g(n), 여기서 g(n)은 모듈로 6 식으로 주어지며(논문에 제 g(n) 값들).
• 최댓값은 n mod 6에 따라 H_n^⌊n/2⌋, F_n^{…}, 혹은 관련 그래프에 의해 달성되며, 정리는 이에 대해 상세히 제시된다.
• 방전 기법으로 P6^2-제거 그래프에 대해 t(G) ≤ e(G) 상한을 증명하고 Mantel의 정리 및 터완 유사 계산으로 좁은 상한을 얻는다.
• 극값 그래프의 블록은 네 가지 유형으로 한정되며, 분석은 빨간 삼각형이 파란 간선 수와 어떻게 연결되는지 보여준다.
• 저자들은 n ≥ 11에 대한 극값 그래프의 완전한 분류를 제공하고, 더 깊은 분석으로 모든 n에 대해 정확한 값이 확장될 수 있다고 추측한다.