[논문 리뷰] The mean Dehn function of abelian groups

Oleg Bogopolski, Enric Ventura|ArXiv.org|2006. 06. 12.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성 아벨 군의 평균 딘 함수를 기본적인 세는 방법을 사용하여 계산하며, 세 가지 변형—$D_{osmean}(n)$, $D_{smean}(n)$, 및 $D_{mean}(n)$—이 모두 $Kn(\mathrm{ln}\,n)^2$ 이하로 유계임을 보여준다. 여기서 $K$ 는 군의 표현과 지오데식 콩부링에만 의존한다. 이는 이전의 아랫차수 제곱 bound 보다 향상된 결과이며, 기하학자 그로모프가 제안한 바와 같이 평균 딘 함수는 표준 딘 함수보다 훨씬 느리게 증가한다는 추측을 확인한다.

ABSTRACT

While Dehn functions, D(n), of finitely presented groups are very well studied in the literature, mean Dehn functions are much less considered. M. Gromov introduced the notion of mean Dehn function of a group, $D_{mean}(n)$, suggesting that in many cases it should grow much more slowly than the Dehn function itself. Using only elementary counting methods, this paper presents some computations pointing into this direction. Particularizing them to the case of any finite presentation of a finitely generated abelian group (for which it is well known that $D(n)\sim n^2$ except in the 1-dimensional case), we show that the three variations $D_{osmean}(n)$, $D_{smean}(n)$ and $D_{mean}(n)$ all are bounded above by $Kn(\ln n)^2$, where the constant $K$ depends only on the presentation (and the geodesic combing) chosen. This improves an earlier bound given by Kukina and Roman'kov.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성 아벨 군에서 평균 딘 함수의 증가율을 조사하는 것. 이는 표준 딘 함수만큼 연구되지 않은 분야이다.
• 세 가지 평균 딘 함수 변형—$D_{osmean}(n)$, $D_{smean}(n)$, $D_{mean}(n)$—에 대한 명시적 상한을 제공하는 것.
• 그로모프의 추측을 확인하는 것—즉, 평균 딘 함수는 표준 딘 함수보다 훨씬 더 느리게 증가하며, 특히 아벨 군에서는 그러하다.
• 카일리 그래프에서 단어 경로에 대한 기본적인 세는 기법과 조합적 추정을 사용하여 渐近 bound 를 유도하는 것.
• 쿠키나와 로만요프가 이전에 제시한 아벨 군의 평균 딘 함수에 대한 아랫차수 제곱 bound 보다 향상시키는 것.

제안 방법

• 저자들은 자유 모노이드 $A^*$ 의 길이 $n$ 인 단어에 대한 평균을 취함으로써, $D_{osmean}(n)$, $D_{smean}(n)$, $D_{mean}(n)$ 세 가지 평균 딘 함수의 변형을 정의한다.
• 유한 생성 집합에 대한 군의 카일리 그래프를 사용하여 자유 모노이드의 단어에 대응하는 경로를 모델링한다.
• 분석은 $\mathbb{Z}^r$ 의 카일리 그래프에서 후퇴 없이(지오데식으로) 끝나는 경로의 수를 세는 데 기반하며, 이는 샤프(2001)가 유도한 $\mathcal{N}_v'(n)$, 즉 주어진 군 원소 $v$ 에서 끝나는 그러한 경로의 수에 대한 점근 공식을 활용한다.
• 스티링의 근사법과 중심 이항 계수의 점근 추정을 적용하여, $\mathbb{Z}^2$ 에서의 짝수 길이의 닫힌 경로 수를 분석한다. 이는 항등원을 나타내는 단어에 대응한다.
• 핵심적인 기술적 단계는 아벨 표현의 구조와 아벨 군에서 $D(n) \sim n^2$ 임을 고려하여, 항등원을 나타내며 면적이 작은 비기본 단어의 수를 유계로 제한하는 것이다.
• 최종 상한은 $S_G(n)$, 즉 군 $G$ 에서 항등원이 되는 길이 $n$ 의 단어들의 구를 평균화하는 방식으로 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 생성 아벨 군에서 평균 딘 함수 $D_{osmean}(n)$, $D_{smean}(n)$, $D_{mean}(n)$ 는 어떻게 증가하는가?
• RQ2 그로모프의 추측처럼, 기본적인 세는 방법이 평균 딘 함수에 대해 아랫차수 제곱 bound 를 도출할 수 있는가?
• RQ3 특히 $\mathbb{Z}^r$ 에서 평균 딘 함수의 정확한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ4 표준 딘 함수 $D(n) \sim n^2$ 와 비교할 때 평균 딘 함수는 어떻게 되는가?
• RQ5 카일리 그래프에서 경로 수를 세는 기법을 사용하여 항등원을 나타내는 짧은 면적의 단어의 수를 효과적으로 유계로 제한할 수 있는가?

주요 결과

• 유한 생성 아벨 군의 유한 표현에 대해, 평균 딘 함수 $D_{osmean}(n)$, $D_{smean}(n)$, $D_{mean}(n)$ 는 모두 $Kn(\ln n)^2$ 이하로 유계이며, 여기서 $K$ 는 표현과 선택된 지오데식 콩부링에만 의존한다.
• 이 상한은 쿠키나와 로만요프가 아벨 군의 평균 딘 함수에 대해 이전에 확립한 아랫차수 제곱 상한보다 향상된 결과이다.
• $\mathbb{Z}^2$ 의 경우, 후퇴 없이 길이 $2n$ 인 닫힌 경로의 수는 점근적으로 $f_{2n} \sim \frac{4}{3(\sqrt{3}+1)\pi} \cdot \frac{3^{2n}}{2n}$ 로 주어지며, 이는 샤프의 국소 극한 정리에서 유도된다.
• 지오데식 경로의 수의 점근적 행동을 이용하여, 항등원을 나타내며 면적이 작은 길이 $n$ 의 단어 수를 추정함으로써 평균 딘 함수를 유계로 제한하는 데 중심적인 역할을 한다.
• 저자들은 평균 딘 함수가 표준 딘 함수 $D(n) \sim n^2$ 와는 달리 엄격히 더 느리게 증가함을 확인하였으며, 이는 그로모프의 추측—즉, 평균 딘 함수는 매우 느리게 증가한다—를 지지한다.
• 상한 $O(n(\ln n)^2)$ 는 고급 기하학적 또는 확률적 도구를 요구하지 않고, 카일리 그래프에서 경로 수에 대한 기본적인 세기와 조합적 추정을 통해 유도되었다.