[논문 리뷰] The Meaning of \'Etale Stacks

David Carchedi|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 11.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 공간과 국소 위상동형사상의 사이트 위의 스택의 연장으로서 에탈 스택을 범주론적으로 특성화하며, 국소 미분동형사상을 갖는 미분가능 스택의 2-카테고리가 매끄러운 다양체와 국소 미분동형사상의 사이트 위의 층의 2-토포스와 동치임을 증명한다. 또한 효과적인 에탈 스택이 정확히 층의 연장으로서 나타남을 보이고, 이를 바탕으로 하이플리거 군oids로 표현되는 분류 스택을 이용해 리만기하학적 및 심플렉틱 기하학적 구조를 분류한다.

ABSTRACT

In this article, we derive many properties of etale stacks in various contexts, and prove that etale stacks may be characterized categorically as those stacks that arise as prolongations of stacks on a site of spaces and local homeomorphisms. Moreover, we show that the bicategory of etale differentiable stacks and local diffeomorphisms is equivalent to the 2-topos of stacks on the site of smooth manifolds and local diffeomorphisms. An analogous statement holds for other flavors of manifolds (topological, $C^k,$ complex, super...), and topological spaces locally homeomorphic to a given space $X.$ A slight modification of this result also holds in an even more general context, including all etale topological stacks, and Zariski etale stacks, and we also sketch a proof of an analogous characterization of Deligne-Mumford algebraic stacks. We go on to characterize effective etale stacks as precisely those stacks arising as the prolongations of sheaves. It follows that etale stacks (and in particular orbifolds) induce a small gerbe over their effective part, and all gerbes over effective etale stacks arise in this way. As an application, we show that well known Lie groupoids arising in foliation theory give presentations for certain moduli stacks. For example, there exists a classifying stack for Riemannian metrics, presented by Haefliger's groupoid $R\Gamma$ and submersions into this stack classify Riemannian foliations, and similarly for symplectic structures, with the role of $R\Gamma$ replaced with $\Gamma^{Sp}.$ We also prove some unexpected results, for example: the category of smooth $n$-manifolds and local diffeomorphisms has binary products.

연구 동기 및 목표

• 다양체, 위상수학적 다양체 및 복소다양체와 같은 다양한 기하학적 맥락에서 에탈 스택의 범주론적 특성화를 제공한다.
• 에탈 미분가능 스택과 국소 미분동형사상의 2-카테고리와 매끄러운 다양체와 국소 미분동형사상의 사이트 위의 스택 2-토포스 사이의 동치를 확립한다.
• 효과적인 에탈 스택이 정확히 층의 연장으로서 나타나는 것임을 보이고, 이를 게르베와 모듈리 문제에 연결한다.
• 이론을 분할 이론에 적용하여, 하이플리거 군oids로 표현되는 분류 스택을 통해 리만기하학적 및 심플렉틱 기하학적 구조를 분류한다.
• 자리지 에탈 스택과 델리니-무미 프로젝티브 대수기하 스택을 포함한 더 일반적인 맥락으로 이론을 확장하고, 스무스 n-다양체와 국소 미분동형사상의 카테고리에서 이진 곱의 존재성과 같은 구조적 결과를 증명한다.

제안 방법

• 스택의 사이트와 국소 위상동형사상 위에서의 연장을 이용해 에탈 스택을 공간의 사이트와 국소 위상동형사상에서 유래된 스택으로 특성화한다.
• 2-토포스 이론을 적용하여, 에탈 미분가능 스택의 2-카테고리가 매끄러운 다양체와 국소 미분동형사상의 사이트 위의 스택 2-토포스와 동치임을 보인다.
• 효과적인 에탈 스택이 정확히 층의 연장으로서 나타나는 것임을 증명하며, 이러한 스택 위의 게르베의 구조를 이용한다.
• 분할 이론의 리 군oids에 이론을 적용하여, 하이플리거의 군oids RΓ이 리만계량의 분류 스택을 나타냄을 보인다.
• 유사한 프레임워크를 사용하여, 이 분류 스택으로의 압축사상이 리만기하학적 분할을 분류함을 보이고, Γ^Sp를 사용하여 심플렉틱 기하학적 구조에 대해 유사한 결과를 얻는다.
• 스무스 n-다양체와 국소 미분동형사상의 카테고리에서 이진 곱의 존재성과 같은 구조적 결과를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에탈 스택은 공간의 사이트와 국소 위상동형사상의 스택의 연장으로서 어떻게 범주론적으로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 에탈 미분가능 스택과 국소 미분동형사상의 2-카테고리와 매끄러운 다양체와 국소 미분동형사상의 사이트 위의 스택 2-토포스 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 어떤 에탈 스택이 층의 연장으로서 나타나며, 이는 게르베 이론과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 분할 이론에서 잘 알려진 리 군oids, 예를 들어 하이플리거의 군oids RΓ은 리만계량과 같은 기하학적 구조를 분류하는 분류 스택을 나타내는 것으로 해석될 수 있는가?
• RQ5 스무스 다양체와 국소 미분동형사상의 카테고리에서 이진 곱의 존재성과 같은 구조적 성질은 무엇이 성립하는가?

주요 결과

• 에탈 미분가능 스택과 국소 미분동형사상의 2-카테고리는 매끄러운 다양체와 국소 미분동형사상의 사이트 위의 스택 2-토포스와 동치이다.
• 효과적인 에탈 스택은 정확히 층의 연장으로서 나타나며, 이러한 스택은 그 효과적인 부분 위에서 소규모 게르베를 유도한다.
• 효과적인 에탈 스택 위의 모든 게르베는 정확히 층의 연장으로서 나타나며, 이는 완전한 분류를 확립한다.
• 하이플리거의 군oids RΓ는 리만계량의 분류 스택을 나타내며, 이 스택으로의 압축사상은 리만기하학적 분할을 분류한다.
• 유사한 결과가 심플렉틱 기하학적 구조에 대해서도 성립하며, Γ^Sp로 표현되는 분류 스택이 존재한다.
• 스무스 n-다양체와 국소 미분동형사상의 카테고리에 이진 곱이 존재하며, 이는 비트란한 구조적 결과이다.