[논문 리뷰] The measurable Hall theorem fails for treeings

Gábor Kun|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 03.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 모든 $d \geq 2$에 대해 가측적으로 이분할 가능한 $d$-정규 트리잉(기하학적으로 순환하지 않는 그래프링)을 구성하며, 이는 가측적 완전 매칭를 가질 수 없음을 보여, 트리잉 설정에서 가측 Hall 정리가 성립하지 않음을 시사한다. 이 구성은 제어된 간선 방향성과 측도 이론적 성질을 갖는 유한 $d$-정규 이분할 그래프들의 역극한을 사용하며, 모든 $L^1$ 순환량이 거의 어디서나 0임을 증명함으로써 가측 매칭의 부재를 유도한다.

ABSTRACT

We construct, for every $d \geq 3$, a $d$-regular acyclic measurably bipartite graphing that admits no measurable perfect matching, resolving a problem of Kechris and Marks. A dense variant of our construction yields a coupling of two standard Borel probability measure spaces whose support contains no deterministic coupling, though the conditional probabilities of the coupling measure are atomless. This refutes a conjecture of Gurel-Gurevich and Peled.

연구 동기 및 목표

• Kechris와 Marks가 제기한 열린 문제인 $d$-정규 Borel 트리잉이 가측적 완전 매칭를 갖는지 여부를 해결하기 위해.
• 초한성 및 Borel 설정에서 알려진 반례를 더 넓은 트리잉 클래스로 확장하여, 특히 홀수 및 짝수 차수에 대해 적용하기 위해.
• 그래프링이 정규적이고 가측적으로 이분할 가능할지라도 완전 매칭의 존재가 가측적 매칭의 존재를 의미하지는 않음을 보여주기 위해.
• 구성된 그래프링에서 모든 $L^1$ 순환량이 거의 어디서나 0임을 보여주어 가측 매칭의 부재를 차단함을 보여주기 위해.
• 이러한 그래프링이 자유 $\mathbb{Z}$-작용의 Schreier 그래프링으로 나타날 수 없음을 입증하여 결과를 측도 이론적 군론과 연결하기 위해.

제안 방법

• 측도를 보존하는 사영 사상 $f_n: V(G_{n+1}) \to V(G_n)$를 사용하여 유한 $d$-정규 이분할 그래프 $\{G_n\}$의 수열을 재귀적으로 구성하기 위해.
• 정점 집합이 $f_n(x_{n+1}) = x_n$를 만족하는 수열 $\{x_n\}$인 역극한 그래프링 $T_0$를 정의하고, 이를 곱측도로 장비하기 위해.
• 모든 정점이 '나쁜 집합' $V_0(G_n)$에 무한히 많은 좌표를 갖는 정점들을 제거함으로써 전체 측도 부분그래프링 $T$로 측도를 제한함으로써 순환성과 정규성을 확보하기 위해.
• 그래프 $T$에 대한 가측적 방향성 $\mathcal{O}$와 $G_n$에서 $T$로의 방향성의 끌올림을 사용하여 간선 방향의 불일치를 제어하기 위해.
• 레마 4를 적용하여 절대 적분 가능한 순환량이 거의 어디서나 0이어야 함을 보이며, 유한 수준의 방향성로 근사하고 불일치 측도를 유계화함으로써 증명하기 위해.
• 최종적으로 유도된 그래프링 $T$가 트리잉(기하학적으로 순환하지 않음)임과 동시에 $d$-정규임을 보이며, 비자명한 $L^1$ 순환량이 없음을 증명함으로써 가측적 완전 매칭의 부재를 유도하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $d \geq 2$에 대해 $d$-정규 가측적으로 이분할 가능한 트리잉이 가측적 완전 매칭를 갖는가?
• RQ2 초한성 및 Borel 설정에서의 실패에도 불구하고, 가측 Hall 정리는 트리잉 클래스로 확장될 수 있는가?
• RQ3 정규 그래프링에서 가측 매칭을 방해하는 순환량의 역할은 무엇인가?
• RQ4 이러한 반례는 모든 $d \geq 2$에 대해, 특히 홀수 차수에 대해서도 구성될 수 있는가?
• RQ5 자유 $\mathbb{Z}$-작용의 Schreier 그래프링으로서 $d$-정규 트리잉이 나타날 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $d \geq 2$에 대해 가측적으로 이분할 가능한 $d$-정규 트리잉이 존재하며, 이는 가측적 완전 매칭를 갖지 않는다.
• 구성된 그래프링에서 모든 $L^1$ 순환량은 거의 어디서나 0이다. 이는 가측적 완전 매칭의 부재를 의미한다.
• 그래프링 $T$는 트리잉이며, 구성 요소에 순환을 포함하는 정점들의 집합이 측도가 0이므로, 거의 어디서나 $d$-정규이다.
• 구성은 전역 방향성과 그 유한 수준 근사 간의 불일치 측도가 임의로 작아지도록 보장함으로써 근사 방법의 사용을 가능하게 한다.
• 이 그래프링은 자유 $\mathbb{Z}$-작용의 Schreier 그래프링으로 나타날 수 없다. 왜냐하면 그러한 작용은 비자명한 유계 순환량을 유도할 것이며, $T$에는 이러한 순환량이 존재하지 않기 때문이다.
• 이 결과는 기술적 집합론과 가측 조합론 분야에서 오랫동안 미해결이었던 열린 문제를 해결하며, 가측 Hall 정리가 트리잉으로까지 확장되지 않음을 보여준다.