[논문 리뷰] The Medium Amplitude Response of Nonlinear Maxwell-Oldroyd Type Models in Simple Shear

Kyle R. Lennon, Gareth H. McKinley외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 03.

Rheology and Fluid Dynamics Studies참고 문헌 63인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 점탄성 유체를 위한 일반화된 비선형 Maxwell-Oldroyd 모델을 제안하며, 중간 진폭 평행 초월(MAPS) 점탄성 측정을 통해 세 번째 차수의 복소 점탄도를 고유한 모델 서명의 기저로 분해한다. 세 개의 주파수를 동시에 적용한 진동 시험(3-tone oscillatory shear)이 모델 매개변수를 최소한의 불확실성으로 유일하게 식별하는 데 최적임을 입증하여, 강력한 데이터 기반의 구성 모델링을 가능하게 한다.

ABSTRACT

A general framework for Maxwell-Oldroyd type differential constitutive models is examined, in which an unspecified nonlinear function of the stress and rate-of-deformation tensors is incorporated into the well-known corotational version of the Jeffreys model discussed by Oldroyd. For medium amplitude simple shear deformations, the recently developed mathematical framework of medium amplitude parallel superposition (MAPS) rheology reveals that this generalized nonlinear Maxwell model can produce only a limited number of distinct signatures, which combine linearly in a well-posed basis expansion for the third order complex viscosity. This basis expansion represents a library of MAPS signatures for distinct constitutive models that are contained within the generalized nonlinear Maxwell model. We describe a framework for quantitative model identification using this basis expansion, and discuss its limitations in distinguishing distinct nonlinear features of the underlying constitutive models from medium amplitude shear stress data. The leading order contributions to the normal stress differences are also considered, revealing that only the second normal stress difference provides distinct information about the weakly nonlinear response space of the model. After briefly considering the conditions for time-strain separability within the generalized nonlinear Maxwell model, we apply the basis expansion of the third order complex viscosity to derive the medium amplitude signatures of the model in specific shear deformation protocols. Finally, we use these signatures for estimation of model parameters from rheological data obtained by these different deformation protocols, revealing that three-tone oscillatory shear deformations produce data that is readily able to distinguish all features of the medium amplitude, simple shear response space of this generalized class of constitutive models.

연구 동기 및 목표

• 비선형 응력-속도 의존성을 포함하는 Maxwell-Oldroyd 유형의 구성 모델에 대한 일반적 프레임워크를 개발하는 것.
• 세 번째 차수의 복소 점탄도의 기저 전개를 통해 중간 진폭 점탄성 데이터에서 정량적 모델 식별을 가능하게 하는 것.
• 특히 세 개의 주파수를 동시에 적용한 진동 시험을 포함한 다양한 변형 프로토콜이 일반화된 모델의 비선형 응답 공간을 얼마나 잘 해소하는지 평가하는 것.
• MAPS 점탄성 측정과 보편 미분방정식(UDE) 접근법을 연결하여 데이터 기반 모델링의 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 비틀림을 고려한 Jeffreys 모델에 응력 및 변형률 속도 텐서의 미지 비선형 함수 F(σ, ˙γ)를 도입하여 일반화된 비선형 Maxwell 모델을 수립한다.
• 중간 진폭 평행 초월(MAPS) 프레임워크를 적용하여 세 번째 차수의 복소 점탄도에 대해 잘 정의된 기저 전개를 유도하며, 이는 고유한 모델 서명을 나타낸다.
• 기저 전개를 활용해 점탄성 데이터로부터 선형 매개변수 추정을 수행하고, 회귀 분석을 통한 정량적 모델 선택을 가능하게 한다.
• MAOS, 정 steady shear 유도, 세 개의 주파수를 동시에 적용한 진동 시험을 포함한 다양한 변형 프로토콜에서 모델 매개변수의 식별 가능성 평가.
• 일반화된 모델 내에서 시간-변형률 분리 조건을 분석하여 모델의 한계를 평가한다.
• 두 번째 정규 응력 차이가 모델의 약한 비선형 응답 공간에 대해 고유한 정보를 제공함을 입증하며, 첫 번째 및 세 번째 차이는 덜 정보적인 것으로 나타난다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 비선형 Maxwell-Oldroyd 모델은 비선형 함수 F(σ, ˙γ)를 포함한 단일 미분 방정식 프레임워크로 광범위한 점탄성 거동을 포괄할 수 있는가?
• RQ2 MAPS 프레임워크는 세 번째 차수의 복소 점탄도를 어떻게 고유한 모델 서명의 기저로 분해하여 모델 식별을 가능하게 하는가?
• RQ3 MAOS, 정 steady shear 유도, 또는 세 개의 주파수를 동시에 적용한 진동 시험 중 어떤 변형 프로토콜이 일반화된 모델의 매개변수 공간을 해소하는 데 가장 유용한 데이터를 제공하는가?
• RQ4 두 번째 정규 응력 차이는 모델 응답의 비선형 특징을 구분하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 일반화된 모델은 점탄성 유체의 시간 시리즈 데이터에서 훈련된 보편 미분방정식(UDE)과 같은 데이터 기반 모델링에 효과적으로 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 비선형 Maxwell 모델은 이 프레임워크 내에서 기저 전개를 통해 기본 구성 모델의 모든 고유한 서명을 포괄하는 세 번째 차수의 복소 점탄도 기저 전개를 가능하게 한다.
• 모델의 약한 비선형 응답 공간에 대해 고유하고 중복되지 않는 정보를 제공하는 유일한 양상은 두 번째 정규 응력 차이뿐이다.
• 세 개의 주파수를 동시에 적용한 진동 시험은 매개변수 불확실성을 최소화하고 모델 식별 과정에서 잘 정의된 회귀 분석을 가능하게 하여 가장 효과적인 데이터를 생성한다.
• 이 프레임워크를 통해 선형 매개변수 추정을 통한 정량적 모델 선택이 가능하며, 베이지안 정보 기준(BIC)이 최적의 모델 피팅을 위한 정규화 전략을 제공한다.
• 모델의 미분 방정식 구조는 복잡한 유동 시뮬레이션을 위한 수치 유체역학 도구에 잘 통합될 수 있다.
• 이 접근법은 '점탄성 UDEs(rUDEs)'를 통한 데이터 기반 모델링으로 이어지며, 비선형 함수 F(σ, ˙γ)는 다양한 점탄성 데이터에서 훈련된 신경망으로 대체될 수 있다.