[논문 리뷰] THE MEMBERSHIP PROBLEM FOR CONSTANT-SIZED QUANTUM CORRELATIONS IS UNDECIDABLE

Honghao Fu, Carl A. Miller외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 37인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 고정된 크기의 벨 시나리오(측정 설정 수와 결과 수가 일정한 경우)에서도 양자 회원 자격 문제—주어진 상관관계가 양자역학에서 유래되었는지 여부를 판단하는 문제—가 결정 불가능하다는 것을 증명한다. 이는 이면군을 기반으로 한 상관관계의 가족을 구성하고, 믹시니 기계와 카르람파치치-마야스니코프-사피르 군에서 유래된 결정 불가능성 결과를 활용함으로써 이루어진다. 저자들은 이러한 고정 크기의 경우에 대해 어떤 알고리즘도 양자 상관관계 집합 내의 소속성을 결정할 수 없음을 보여주며, 이는 결정 불가능성이 양자 비국소성의 본질적인 특성임을 입증한다. 실험적 복잡성 증가의 결과가 아니라는 점에서 이는 양자 비국소성의 근본적인 특성임을 시사한다.

ABSTRACT

One of the most fundamental and counterintuitive features of quantum me- chanics is entanglement, which is central to many demonstrations of the quantum advantage. Studying quantum correlations generated by local measurements on an entangled physical system is one of the direct ways to gain insights into en- tanglement. The focus of this dissertation is to get better understanding of the hardness of determining if a given correlation is quantum, which is also known as the membership problem of quantum correlations. Previous work has shown that the general membership problem is computationally undecidable. Where does the hardness come from? Is it just because the size of a quantum correlation (i.e., the number of real values in the description of the correlation) can be arbitrarily large? We would like to understand the role played by the varying sizes of correlations in the hardness of the membership problem. It has been shown that certain quantum correlations require the measured quantum system to be maximally entangled with a certain dimension. This is a unique phenomenon of quantum correlations and it is known as self-testing. The first step towards answering the hardness of the membership problem of quantum correlations is to get deeper understandings about self-testing, and more specifically, about the size of a correlation that can self-test a maximally entangled state of arbitrarily large dimension. If correlations of a fixed size can self- test entangled states of unbounded dimension, this phenomenon is a strong evidence suggesting that deciding membership of fixed-sized correlations can be very hard. We first show that there exists an infinite subset of the set of all the prime numbers such that, for each prime p in this set, a maximally entangled state of local dimension (p − 1) can be self-tested by a correlation of a fixed size. Since this set is infinite, this result implies that constant-sized correlations are sufficient to self-test maximally entangled states of unbounded dimension. Building on the self-testing result, we show that the varying sizes of correlations are not the only root of the hardness. Specifically, we show that the membership problem of fixed finite-sized correlations is still computationally undecidable when the fixed size is sufficiently large. That is, the hardness of the membership problem of quantum correlations is independent of the varying sizes of correlations. In fact, the hardness arises from the fact that the structure of some set of correlations of a particular size is so complicated that no finite description of this set can allow a Turing machine to decide if a correlation is quantum or not.

연구 동기 및 목표

• 측정 설정 수와 결과 수가 고정되어 있을 때도 양자 회원 자격 문제가 여전히 결정 불가능한지 여부를 해결하는 것.
• 양자 상관관계에서의 결정 불가능성이 실험적 매개변수 증가의 산물이 아니라, 양자 비국소성의 근본적 특성임을 입증하는 것.
• 알고리즘이 결정할 수 없는 고정 크기의 양자 상관관계 가족을 구성하는 것.
• 군론적 구성 방법을 통해 양자 자기검증과 비국소 게임에서의 결정 불가능성 간의 다리를 놓는 것.
• 고정된 설정에서도 양자 상관관계 집합이 어떤 유한하거나 재귀적인 부등식 집합으로도 기술될 수 없다는 점을 보여주는 것.

제안 방법

• 믹시니 기계에서 유도된 소수 함수 p(n)를 사용하여 이면군 Dp(n)를 기반으로 한 상관관계 가족 Cp(n)을 구성한다.
• 군론에서의 해집합을 사용하여 비국소 게임의 행동을 인코딩하고, 카르람파치치-마야스니코프-사피르 군에서의 단어 문제와 연결한다.
• KMS 군을 해집합에 통합하여 믹시니 기계의 역학을 양자 상관관계 구조 내에서 시뮬레이션한다.
• 특정 선형 시스템에 대해 완벽한 상관관계 제약 조건을 만족하는 함수 f를 사용하여 유한한 상관관계 가족 Fn을 정의한다.
• KMS 군에서의 단어 문제의 결정 불가능성을 활용하여 Fn이 Cqc에 속하는지 여부가 결정 불가능함을 보인다.
• 군 대수에서의 근사 표현과 추적 추정을 사용하여 Fn ∩ Cqa ≠ ∅이면 n이 믹시니 기계의 정지 문제의 해가 아님을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측정 설정 수와 결과 수가 일정하게 유지될 때도 양자 회원 자격 문제가 결정 불가능한가?
• RQ2 양자 상관관계의 결정 불가능성이 실험적 복잡성 증가가 아니라 고정 크기의 비국소 게임의 구조에 기인하는가?
• RQ3 믹시니 기계를 기반으로 한 군론적 구성 방법을 사용하여 양자 상관관계 집합 내에서 결정 불가능 문제를 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ4 고정 크기의 상관관계 유한 가족 중에서, 그 소속성이 교환 연산자 양자 상관관계 집합 내에서 알고리즘적으로 결정 불가능한 것이 존재하는가?
• RQ5 양자 상관관계의 기하학적 및 대수적 구조는 얼마나 깊이 유한하거나 재귀적인 기술을 불가능하게 하는가?

주요 결과

• 측정 설정 수와 결과 수가 고정된 상관관계의 가족에 대해서도 양자 회원 자격 문제가 결정 불가능하다. 특히 (nA, nB, mA, mB) = (3, 3, 2, 2)의 경우에 해당한다.
• 결정 불가능성은 카르람파치치-마야스니코프-사피르 군에서의 단어 문제에서 기인하며, 이 군은 비국소 게임을 모델링하는 해집합에 통합되어 있다.
• 특정 상관관계 가족 Fn에 대해, Fn이 Cqc에 속하는 것은 정확히 n이 믹시니 기계의 정지 문제의 해일 때만 성립하지 않으며, 이는 결정 불가능하다.
• Cqa가 Fn을 포함하는 것은 정확히 n이 정지 문제의 해가 아닐 때만 성립하며, 이는 이 가족에 대해 Cqa가 재귀적으로 열거 불가능하다는 것을 증명한다.
• 이 증명은 주어진 상관관계가 고정 크기의 가족에 속하는지 여부를 판단할 수 있는 어떤 알고리즘도 존재하지 않음을 보여준다.
• 결과적으로, 양자 상관관계 집합은 고정된 설정에서도 어떤 유한하거나 재귀적인 부등식 체계로도 기술될 수 없다.