[논문 리뷰] The Meniscus on the Outside of a Circular Cylinder from Nanometer to Macroscopic Scales

Yanfei Tang, Shengfeng Cheng|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 19.

Polymer Surface Interaction Studies인용 수 1

한 줄 요약

이 연구는 실린더가 원통형 용기 안에 잠긴 작은 수직 실린더 외부에 형성된 면체의 영역에서 영-라플라스 방정식을 해석적으로 및 수치적으로 해결하여, 작은 용기의 경우( L ≪ κ⁻¹) 면체 높이 Δh 가 R ln(L/R) 비례로, 큰 용기의 경우( L ≫ κ⁻¹)는 R ln(κ⁻¹/R) 비례로 변화함을 밝혀냈다. 이러한 두 영역 간의 전이 영역은 L ≈ 0.4κ⁻¹ 에서 4κ⁻¹ 사이에 발생하며, 근사 해석식을 통해 나노스케일에서 거시스케일에 이르기까지 Δh 를 정확히 예측할 수 있다.

ABSTRACT

We systematically study the meniscus on the outside of a small circular cylinder vertically immersed in a liquid bath in a cylindrical container. The cylinder has a radius $R$ much smaller than the capillary length $\kappa^{-1}$ and the container with radius $L$ is coaxial with the cylinder. In the limit of $L \ll \kappa^{-1}$ we analytically solve the general Young-Laplace equation governing the meniscus profile and show that the meniscus height, $\Delta h$, scales approximately with $R\ln (L/R)$. In the opposite limit $L \gg \kappa^{-1}$, $\Delta h$ becomes independent of $L$ and scales with $R\ln (\kappa^{-1}/R)$. We implement a numerical scheme to solve the general Young-Laplace equation for an arbitrary $L$ and demonstrate the crossover of the meniscus profile between these two limits. The crossover region has been determined to be roughly $0.4\kappa^{-1} \lesssim L \lesssim 4\kappa^{-1}$. An approximate analytical expression has been found, enabling accurate prediction of $\Delta h$ at any values of $L$ that ranges from nanometer to macroscopic scales.

연구 동기 및 목표

• 소수성 수직 실린더가 액체 용기 속에 잠긴 상태에서 발생하는 모세관 면체 프로파일을 이해하는 것.
• 면체 높이 Δh 가 실린더 반지름 R 과 용기 반지름 L 이 다양한 치수 스케일에서 어떻게 의존하는지 규명하는 것.
• 면체 높이 Δh 의 두 개의 상이한 척도 영역 간 전이 행동을 파악하는 것, 특히 L 이 카피리티 길이 κ⁻¹ 과 비교하여 변화할 때의 전이 특성.
• 나노미터에서 거시스케일에 이르기까지 모든 스케일에서 Δh 를 정확히 예측할 수 있는 근사 해석식을 개발하는 것.

제안 방법

• L ≪ κ⁻¹ 과 L ≫ κ⁻¹ 의 극한 조건에서 일반 영-라플라스 방정식을 해석적으로 풀어 Δh 의 척도 법칙을 유도하는 것.
• 임의의 L 에 대해 전체 영-라플라스 방정식을 수치적으로 풀어 모든 영역에서 면체 프로파일을 포괄적으로 분석하는 것.
• 두 척도 영역 간 전이 영역을 약 0.4κ⁻¹ ≤ L ≤ 4κ⁻¹ 로 규명하는 것.
• 두 점 渐近 근사 근사치 사이를 연결하는 근사 해석식을 유도하여 수치 결과와 정확하게 일치시키는 것.
• 나노스케일에서 거시스케일에 이르기까지 전체 L 범위에서 해석적 및 수치적 해법을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작은 L 의 극한 조건에서, 작은 실린더 외부 면체 높이 Δh 는 용기 반지름 L 에 어떻게 의존하는가?
• RQ2 용기 반지름이 카피리티 길이에 비해 클 경우, Δh 는 L 에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ3 L 이 증가함에 따라 두 척도 영역 간 전이의 성격은 어떠한가?
• RQ4 나노미터에서 거시스케일에 이르기까지 모든 스케일에서 Δh 를 정확히 예측할 수 있는 단일 해석식이 존재하는가?

주요 결과

• L ≪ κ⁻¹ 인 경우 면체 높이 Δh 는 약간의 R ln(L/R) 비례로 변화한다.
• L ≫ κ⁻¹ 인 경우 Δh 는 L 에 의존하지 않으며 R ln(κ⁻¹/R) 비례로 변화한다.
• 두 척도 영역 간 전이 영역은 용기 반지름 L 이 약 0.4κ⁻¹ 에서 4κ⁻¹ 사이일 때 발생한다.
• 모든 L 에 대해 나노스케일에서 거시스케일에 이르기까지 Δh 를 정확히 예측할 수 있는 근사 해석식이 도출되었다.
• 수치적 해법은 해석적 예측를 확인하였으며, 전이 영역에서 면체 프로파일의 부드러운 전이 행동을 드러냈다.