[논문 리뷰] The method of Eneström and Phragmén for parliamentary elections by means of approval voting

Rosa Camps, Xavier Mora외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 23.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 승인 투표를 사용한 비례대표제를 위한 Eneström-Phragmén 방법을 제시하고 분석한다. 이 방법은 고정된 Droop 기준을 기반으로 반복적으로 의석을 배분하며, 개방형 명단에 대한 최대 잔여 방법을 확장하여 강력한 비례성과 단조성 성질을 보이며, Thiele의 방법과 조화 Borda 방법과 같은 대안들보다 공정성과 일관성 면에서 뛰어나다.

ABSTRACT

We study a method for proportional representation that was proposed at the turn from the nineteenth to the twentieth century by Gustav Eneström and Edvard Phragmén. Like Phragmén's better-known iterative minimax method, it is assumed that the voters express themselves by means of approval voting. In contrast to the iterative minimax method, however, here one starts by fixing a quota, i.e. the number of votes that give the right to a seat. As a matter of fact, the method of Eneström and Phragmén can be seen as an extension of the method of largest remainders from closed lists to open lists, or also as an adaptation of the single transferable vote to approval rather than preferential voting. The properties of this method are studied and compared with those of other methods of the same kind.

연구 동기 및 목표

• Eneström-Phragmén 방법을 공식화하고 분석함으로써, 역사적으로 존재하는 비례대표제를 위한 승인 투표 시스템을 정립한다.
• 현대적 승인 기반 배분 방법들과 비교하여 이 방법의 비례성과 단조성 성질을 확립한다.
• 이 방법이 최대 잔여 방법을 개방형 명단으로 일반화하고, STV를 승인 투표에 적응시킬 수 있음을 보여준다.
• 특히 공정성과 일관성 측면에서 Thiele의 방법과 조화 Borda 방법과의 성능을 평가한다.
• 정확한 의석 배분을 보장하기 위해 기준을 조정함으로써 이 방법을 나눗셈 기반 규칙으로 변환할 수 있는지 탐색한다.

제안 방법

• 이 방법은 총 투표수 $ v $ 와 의석 수 $ n $ 를 기반으로 고정된 Droop 기준 $ q = v / (n + 1) $ 를 사용한다.
• 의석은 승인 투표 수가 가장 많은 후보자에게 반복적으로 배분되며, 사용된 투표의 가치는 $ 1/r $ 만큼 감소한다. 여기서 $ r $ 은 배분된 의석의 번호이다.
• 각 승인 투표는 의석에 기여할 때마다 가치의 일부를 잃게 되며, 이는 반복 과정 동안 비례적 분배를 보장한다.
• 이 방법은 개인 후보자와 정당 명단 모두를 잠재적 임명자로 간주하여 다수의 후보자가 포함된 정당을 허용한다.
• 나눗셈 기반 변형은 $ w_*[n-1] \geq q \geq w_*[n] $ 를 만족하도록 $ q $ 를 조정하여 정확히 $ n $ 개의 의석이 배분되도록 보장한다.
• 알고리즘은 $ s $ 개의 의석이 배분된 후의 최대 승인 수 $ w_*[s] $ 를 $ q $ 의 함수로 계산하며, 이는 일관된 기준을 구하기 위한 데 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Eneström-Phragmén 방법은 승인 기반 배분에서 어떻게 비례성을 보장하는가?
• RQ2 이 방법의 단조성 성질은 특히 정당 명단과 개인 후보자에 적용했을 때 어떻게 되는가?
• RQ3 이 방법을 나눗셈 기반 시스템으로 변형할 수 있는가? 이 경우 잔여 조정 없이 정확한 의석 배분을 보장할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 Thiele의 덧셈 방법과 조화 Borda 방법과 비교해 공정성과 일관성 면에서 어떻게 다른가?
• RQ5 완전히 나눗셈 기반으로 만드는 데서의 한계는 무엇인가? 특히 기준 의존성의 불연속성 또는 해가 존재하지 않는 경우에 대해 어떻게 되는가?

주요 결과

• Eneström-Phragmén 방법은 비례성에 대한 정리 2.1과 개인 후보자에 대한 단조성에 대한 정리 2.2를 모두 만족하여 공정하고 안정적인 의석 배분을 보장한다.
• 두 정당 시나리오에서 이 방법은 $ \alpha / (\alpha + \beta) $ 의 매끄러운 渐近적 극한을 달성하며, 디몬의 스텝-스텝 행동을 보이는 Phragmén의 반복 최소화 방법보다 뛰어나다.
• 이 방법은 개인 후보자에 대해 단조성을 유지하지만, 정당 명단에 대해서는 실패하며, 비교 표에서 'ind' 로 표기되어 있다.
• Thiele의 덧셈 방법과 달리, 이 방법은 정리 2.1과 정리 2.2를 모두 만족하여 더 강력한 비례성과 일관성을 확보한다.
• 나눗셈 기반 변형을 만들기 위한 尝시는 $ w_*[n-1] = q $ 의 해가 존재하지 않는 경우 실패하며, $ w_*[n-1](q) $ 의 함수에서 발생하는 불연속성은 일관된 기준 조정을 방해한다.
• 세 개의 정당 명단을 포함한 예시에서 $ n = 2, 3 $ 에서 $ w_*[n-1](q) $ 는 대각선 $ q $ 와 교차하지 않으며, $ n = 6 $ 에서 불연속성이 나타나 기준 조정의 불안정성을 보여준다.