[논문 리뷰] The metric dimension of small distance-regular and strongly regular graphs

R. A. Bailey|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 17.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 28인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 GAP를 사용한 광범위한 컴퓨터 계산을 통해, 최대 34개 정점을 가진 모든 소규모 거리정규 및 강한 정규 그래프, 최대 100개 정점까지의 저차수 거리전이성 그래프, 그리고 다양한 다른 클래스의 그래프에 대한 거리차원을 결정하는 결과를 제시한다. 주요 기여는 이러한 그래프에 대한 거리차원에 대한 종합적인 데이터베이스로, 강한 정규 그래프의 경우 독립적으로 검증되었으며, 존슨 및 케이너 그래프, 펠레이 그래프, 하다르드 그래프와 같은 가족에 대한 기존 결과를 확장한다.

ABSTRACT

A {\em resolving set} for a graph $Γ$ is a collection of vertices $S$, chosen so that for each vertex $v$, the list of distances from $v$ to the members of $S$ uniquely specifies $v$. The {\em metric dimension} of $Γ$ is the smallest size of a resolving set for $Γ$. A graph is {\em distance-regular} if, for any two vertices $u,v$ at each distance $i$, the number of neighbours of $v$ at each possible distance from $u$ (i.e. $i-1$, $i$ or $i+1$) depends only on the distance $i$, and not on the choice of vertices $u,v$. The class of distance-regular graphs includes all distance-transitive graphs and all strongly regular graphs. In this paper, we present the results of computer calculations which have found the metric dimension of all distance-regular graphs on up to 34 vertices, low-valency distance transitive graphs on up to 100 vertices, strongly regular graphs on up to 45 vertices, rank-$3$ strongly regular graphs on under 100 vertices, as well as certain other distance-regular graphs.

연구 동기 및 목표

• 최대 34개 정점의 모든 거리정규 그래프의 거리차원을 계산하기.
• 최대 100개 정점까지의 저차수 거리전이성 그래프의 거리차원을 결정하기.
• 최대 45개 정점까지의 모든 강한 정규 그래프의 거리차원을 계산하고, 이전 결과를 독립적인 방법으로 검증하기.
• 최대 100개 정점까지의 랭크-3 강한 정규 그래프와 하다르드 그래프, 존슨 그래프와 같은 특정 가족의 계산을 확장하기.
• 계산 대수 시스템을 사용하여 소규모 대칭 그래프에 대한 거리차원의 종합적이고 검증된 데이터베이스 제공하기.

제안 방법

• 그래프의 해상집합을 체계적으로 계산하기 위해 GAP 컴퓨터 대수 시스템의 활용.
• 거리계산 및 거리정규 및 강한 정규 그래프에서 해상집합 성질을 검증하기 위한 알고리즘 구현.
• 기존 라이브러리, 예를 들어 GAP의 원시군 라이브러리와 슬로운의 하다르드 행렬 데이터베이스를 활용하여 그래프를 구성하고 분석하기.
• 거리차원의 정의 적용: 모든 정점가 같은 거리 벡터를 가지는 최소 집합 S 찾기.
• 기존 하다르드 행렬에서 하다르드 그래프를 구성하고 분석하기 위해 GRAPE 사용.
• 크라티카 등이 수행한 선형 프로그래밍 기반 계산 결과와의 교차 검증을 통한 강한 정규 그래프의 결과 검증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 34개 정점의 모든 거리정규 그래프의 거리차원은 무엇인가?
• RQ2 최대 100개 정점까지의 저차수 거리전이성 그래프에서 거리차원은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 최대 45개 정점까지의 모든 강한 정규 그래프의 거리차원은 무엇이며, 이는 이전 결과와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 최대 100개 정점까지의 랭크-3 강한 정규 그래프의 거리차원은 무엇인가, 펠레이 및 존슨 그래프 포함?
• RQ5 주문 4에서 20까지의 하다르드 그래프에서 거리차원에 어떤 패턴이나 경계가 나타나는가?

주요 결과

• 완전 다중그래프 $K_{m_1,\text{...},m_r}$의 거리차원은 $\sum_{i=1}^r (m_i - 1)$이며, 이는 전이 선택과 쥐포드 원리에 기반한 증명을 통해 도출된다.
• 존슨 그래프 $J(n,2)$의 경우 $n \geq 4$일 때 거리차원은 $n-2$이다. $J(9,2)$는 거리차원 6을, $J(10,2)$는 거리차원 7을 가진다.
• 100개 정점이 있는 히그먼-사이먼스 그래프의 거리차원은 14 이하이며, 저자는 이것이 정확한 값일 것이라 추측한다.
• 동일한 주문을 가진 모든 하다르드 그래프는 동일한 거리차원을 가지며, $H(4)$는 거리차원 4, $H(8)$는 7, $H(16)$와 $H(20)$는 모두 10을 가진다.
• 펠레이 그래프 $P_{37}$의 거리차원은 5이며, $P_{41}$의 거리차원은 7이다. 더 큰 펠레이 그래프인 $P_{89}$와 $P_{97}$의 거리차원은 각각 8과 8이다.
• 56개 정점이 있는 게르비츠 그래프의 거리차원은 9이며, 50개 정점이 있는 호프만-싱클레어 그래프의 거리차원은 11이다.