[논문 리뷰] The Microstructure of Stochastic Volatility Models with Self-Exciting Jump Dynamics

Ulrich Horst, Wei Xu|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 44인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 허크스 과정과 포아송 랜덤 측도를 사용하여 외부 및 자기자극적 충격을 모델링함으로써, 자기자극적 점프 역동성을 갖는 연속시간 확률적 변동성 모델에 대한 통합된 확률적 프레임워크를 수립한다. 스케일링 극한에서 자산 수익률과 변동성은 독립적인 가우시안 노이즈와 두 개의 독립적인 포아송 측도에 의해 구동됨을 증명하며, 여러 작은 외부 충격이 수익률과 변동성에서 내재된 점프 연쇄 반응을 유도할 수 있음을 수학적으로 입증한다.

ABSTRACT

We provide a general probabilistic framework within which we establish scaling limits for a class of continuous-time stochastic volatility models with self-exciting jump dynamics. In the scaling limit, the joint dynamics of asset returns and volatility is driven by independent Gaussian white noises and two independent Poisson random measures that capture the arrival of exogenous shocks and the arrival of self-excited shocks, respectively. Various well-studied stochastic volatility models with and without self-exciting price/volatility co-jumps are obtained as special cases under different scaling regimes. We analyze the impact of external shocks on the market dynamics, especially their impact on jump cascades and show in a mathematically rigorous manner that many small external shocks may tigger endogenous jump cascades in asset returns and stock price volatility.

연구 동기 및 목표

• 자기자기적 점프 역동성을 갖는 확률적 변동성 모델을 위한 일반적인 확률적 프레임워크를 개발하는 것.
• 외부 충격이 시장 역동성에 미치는 영향을 분석하고, 특히 점프 연쇄 반응을 유도하는 데서의 역할을 규명하는 것.
• 공통의 스케일링 극한 아래에서 공동 점프 유무를 고려한 다양한 잘 알려진 확률적 변동성 모델을 통합하는 것.
• 자기자극적 변동성 급등 현상과 더 나은 경험적 데이터 적합도를 갖는 모델에 대한 미시적 기반을 제공하는 것.
• 한정주문서 및 변동성 모델링 맥락에서 표시된 허크스 과정의 기능적 극한 정리 수립

제안 방법

• 외부 및 자기자극적 충격의 도착을 모델링하기 위해 표시된 허크스 과정과 포아송 랜덤 측도를 사용한다.
• 자산 수익률과 변동성의 공동 역동성을 스케일링 극한으로 유도하기 위해 기능적 극한 정리를 적용한다.
• 제한 과정의 특성 함수를 계산하기 위해 포아송 랜덤 측도의 지수 공식을 활용한다.
• 자기자극적 점프 도착을 모델링하기 위해 이민을 포함한 시간-변경 포아송 측도 프레임워크를 도입한다.
• 통합된 허크스 강도의 라플라스 변환과 분열 과정 근사법을 사용하여 극한 행동을 유도한다.
• 경우의 수와 무거운 尾 꼬리 조건 하에서 표시된 허크스 과정에 대한 대규모 탈진 원리와 약한 수렴 결과를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작은 외부 충격이 자산 수익률과 변동성에서 내재된 점프 연쇄 반응을 어떻게 유도하는가?
• RQ2 적절한 스케일링 하에서 자기자극적 점프를 갖는 확률적 변동성 모델의 극한 행동은 어떠한가?
• RQ3 외부 및 자기자극적 점프 역동성을 모두 포함하는 통합된 프레임워크를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 허크스 과정은 어떻게 라프 헤스톤 유형 모델에 대한 미시적 기반을 제공하는가?
• RQ5 허크스 과정의 스케일링된 강도와 점프 과정이 펠러 확산 또는 라프 분수확산으로 수렴하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 스케일링 극한에서 자산 수익률과 변동성의 공동 역동성은 독립적인 가우시안 화이트 노이즈와 외부 충격 및 자기자극적 충격을 위한 두 개의 독립적인 포아송 랜덤 측도에 의해 구동된다.
• 다양한 스케일링 영역에서 공통 점프 유무를 고려한 잘 알려진 확률적 변동성 모델이 특수 케이스로 복원된다.
• 다수의 작은 외부 충격이 수익률과 변동성에서 내재된 점프 연쇄 반응을 유도할 수 있음을 엄밀한 수학적 증명이 입증한다.
• 경우의 수 조건 하에서 허크스 과정의 스케일링된 강도 과정은 약한 수렴을 통해 펠러 확산으로 수렴한다.
• 무거운 꼬리 조건 하에서 스케일링된 점프 과정은 라프 분수확산의 적분으로 약한 수렴을 한다.
• 이 프레임워크는 라프 헤스톤 모델에 대한 미시적 기반을 제공하며 경험적으로 관찰된 큰 변동성 이동의 군집 현상을 설명한다.