[논문 리뷰] The Milnor-Witt motivic ring spectrum and its associated theories

Frédéric Déglise, Jean Fasel|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 21.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 10인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 완전체 위의 미倫-위트 모티빅 링 스펙트럼을 구성하여 특이 스킴 위에서 네 가지 군형 코homology 이론—모티빅 코homology, 보렐-무어 호몰로지, 컴팩트 지지 코homology, 호몰로지—를 통합하는 형식론을 가능하게 한다. 이는 가상의 벡터(bundle)에 의한 일반화된 티브스와 함께, 고전적 모티빅 이론으로의 자연스러운 스펙트럼 준동형을 통해 비방향성 코homology 이론으로 보드로프의 프레임워크를 확장한다.

ABSTRACT

We build a ring spectrum representing Milnor-Witt motivic cohomology, as well as its étale local version and show how to deduce out of it three other theories: Borel-Moore homology, cohomology with compact support and homology. These theories, as well as the usual cohomology, are defined for singular schemes and satisfy the properties of their motivic analog (and more), up to considering more general twists. In fact, the whole formalism of these four theories can be functorially attached to any ring spectrum, giving finally maps between the Milnor-Witt motivic ones to the classical motivic ones.

연구 동기 및 목표

• 완전체 위의 특이 스킴에 대해 미倫-위트 모티빅 코homology를 나타내는 링 스펙트럼을 구성하는 것.
• 가장자리 스펙트럼과 가상의 벡터(bundle)에 의한 일반화된 티브스를 사용하여 네 가지 관련 이론—코homology, 보렐-무어 호몰로지, 컴팩트 지지 코homology, 호몰로지—을 정의하는 것.
• 여섯 함수자 formalism의 맥락에서 이러한 이론들에 대한 함의성, 딜레미, 내림내림 성질을 확립하는 것.
• 미倫-위트 이론들에서 고전적 모티빅 코homology 및 호몰로지로의 자연스러운 준동형을 구성하여 곱과 함의성과 호환되도록 하는 것.
• 모티빅 형식론을 비방향성 코homology 이론으로 일반화하기 위해 임의의 가상의 벡터(bundle)의 스모쓰 공간을 통합하는 것.

제안 방법

• 완전체 $k$ 위에서 $\mathbb{A}^1$-유도 범주 $\mathrm{D}_{\mathbb{A}^1}(k,R)$ 안에서 가환 모노이드로서 미倫-위트 모티빅 링 스펙트럼 $\mathbf{H}_{\mathrm{MW}}R$ 를 구성한다.
• 여섯 함수자 formalism(역상, 전상, 티브스)을 사용하여, 임의의 링 $R$ 을 계수로 하여 가환 모노이드에서 네 가지 이론을 정의한다.
• 디알리티 정리들을 적용하여 접선(bundle) 티브스를 통해 보렐-무어 호몰로지를 코homology와 연결함으로써 고전적 딜레미스 이sov미즘을 일반화한다.
• 스펙트럼 준동형 $\psi: \mathbf{H}_{\mathbb{A}^1}R \to \mathbf{H}_{\mathrm{MW}}R \to \mathbf{H}_{\mathrm{M}}R$ 를 확립하여 관련된 코homology 및 호몰로지 이론들 사이의 자연스러운 변환을 유도한다.
• 유도된 Hom을 통해 $\mathbb{A}^1$-유도 범주 안에서 $f^!(\mathbf{H}_{\mathrm{M}}R) \otimes \mathrm{Th}(-v)$ 를 이용하여 보렐-무어 호몰로지를 계산한다.
• cdh 위상과 전이를 갖는 층 이론에 의존하여, 적절한 조건 하에서 보렐-무어 호몰로지를 카우프-위트 군과 $R$ 의 곱으로 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이 스킴에 대해 미倫-위트 모티빅 코homology를 나타내는 모티빅 스펙트럼을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 코homology, 보렐-무어 호몰로지, 컴팩트 지지 코homology, 호몰로지의 네 가지 표준적 모티빅 이론이 가상의 벡터(bundle)에 의한 일반화된 티브스로 비방향성 코homology 이론으로 함의적으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 미倫-위트 모티빅 이론들과 고전적 모티빅 코homology 및 호몰로지 사이의 관계는 무엇이며, 자연스러운 준동형을 통해 어떻게 연결되는가?
• RQ4 가상의 벡터(bundle)에 의한 일반화된 티브스의 맥락에서 딜레미와 기시스인 준동형은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 여섯 함수자 형식론은 고전적 모티빅 설정을 넘어서 코homological 이론들을 통합하는 데 얼마나 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 미倫-위트 모티빅 링 스펙트럼 $\mathbf{H}_{\mathrm{MW}}R$ 는 $\mathrm{D}_{\mathbb{A}^1}(k,R)$ 안의 가환 모노이드로 구성되며, 임의의 $k$-스킴에 대해 미倫-위트 모티빅 코homology 를 나타낸다.
• 매끄러운 $k$-스킴 $X$ 와 정수 $(n,m)$ 에 대해 자연스러운 이sov미즘 $\mathbf{H}_{\mathrm{MW}}^{n}(X,m,R) \simeq \mathbf{H}_{\mathrm{MW}}^{n+2m,m}(X,R)$ 이 존재하며, 이는 $\widetilde{\mathrm{DM}}(k,R)$ 안에서 티브스된 코homology 를 표준적 모티빅 코homology 와 연결한다.
• 만약 $k$ 가 무한하다면, 미倫-위트 모티빅 코homology 는 $m$ 티브스와 $n=0$ 에서 카우프-위트 군과 일치한다: $\mathbf{H}_{\mathrm{MW}}^{0}(X,m,\mathbb{Z}) \simeq \widetilde{\mathrm{CH}}^m(X)$.
• 보렐-무어 모티빅 호몰로지는 조건 $R$ 가 (3.2.3.a)를 만족하는 $\mathbb{Z}$ 의 국소화일 경우 $\mathbf{H}^{\mathrm{M},\mathrm{BM}}_{n}(X,v,R) \simeq \mathrm{CH}_m(X,n) \otimes_{\mathbb{Z}} R$ 로 계산된다.
• $\varphi_*$ 준동형 $\mathbf{H}^{\mathrm{MW},\mathrm{BM}}_n(X,v,R) \to \mathrm{CH}_m(X,n) \otimes_{\mathbb{Z}} R$ 는 대응함의 성질과 공변함의 성질, 그리고 국소화 장점 수열과 호환된다.
• 딜레미 정리에 따라 보렐-무어 호몰로지는 접선(bundle) 티브스를 통해 코homology 와 일치한다: $\mathbf{H}^{\mathrm{MW},\mathrm{BM}}_n(X,T_X - m,R) \simeq \mathbf{H}_{\mathrm{MW}}^{2m-n,m}(X,R)$.