[논문 리뷰] The Minimal Polynomial over F_q of Linear Recurring Sequence over F_{q^m}

Zhihan Gao, Fang‐Wei Fu|ArXiv.org|2009. 04. 03.

Coding theory and cryptography인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 𝔽_{q^m} 위의 선형 재귀 수열의 최소 다항식과 𝔽_q 위의 선형 복잡도를, 그 최소 다항식 h(x)의 𝔽_{q^m} 위에서의 표준 인수분해가 알려져 있을 때 결정한다. 𝔽_{q^m}[x] 위의 링 자기동형사상 σ를 사용하여, 기약 인수들의 σ-궤도의 곱을 취해 𝔽_q 위의 최소 다항식을 구성하는 공식을 유도한다. 선형 복잡도는 이러한 궤도의 차수를 그 중복도에 따라 가중치를 두어 합산하여 계산된다. 주요 기여는 h(x)의 인수분해로부터 공동 최소 다항식과 공동 선형 복잡도를 구성적으로 계산할 수 있는 방법을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

Recently, motivated by the study of vectorized stream cipher systems, the joint linear complexity and joint minimal polynomial of multisequences have been investigated. Let S be a linear recurring sequence over finite field F_{q^m} with minimal polynomial h(x) over F_{q^m}. Since F_{q^m} and F_{q}^m are isomorphic vector spaces over the finite field F_q, S is identified with an m-fold multisequence S^{(m)} over the finite field F_q. The joint minimal polynomial and joint linear complexity of the m-fold multisequence S^{(m)} are the minimal polynomial and linear complexity over F_q of S respectively. In this paper, we study the minimal polynomial and linear complexity over F_q of a linear recurring sequence S over F_{q^m} with minimal polynomial h(x) over F_{q^m}. If the canonical factorization of h(x) in F_{q^m}[x] is known, we determine the minimal polynomial and linear complexity over F_q of the linear recurring sequence S over F_{q^m}.

연구 동기 및 목표

• 𝔽_{q^m} 위의 선형 재귀 수열에 대해, 그 최소 다항식 h(x)의 𝔽_{q^m} 위에서의 표준 인수분해가 주어졌을 때, 𝔽_q 위의 최소 다항식과 선형 복잡도를 결정하는 것.
• 𝔽_{q^m} 위의 수열로부터 유도된 m중 다중수열에 대한 공동 최소 다항식과 공동 선형 복잡도를 구성적으로 계산하는 방법을 확립하는 것.
• Meidl과 Özbudak가 유도한 𝔽_{q^m} 위의 선형 복잡도에 대한 하한 조건의 날카로움을 새롭게 증명하고 특성화하는 것.
• Frobenius 자기동형사상 σ의 작용을 통해 𝔽_{q^m}[x]에서 h(x)의 인수분해와 𝔽_q 위의 최소 다항식의 구조 사이의 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 𝔽_{q^m} 위의 원소 α ↦ α^q를 보내는 Frobenius 자기동형사상 σ에 의해 정의된 𝔽_{q^m}[x] 위의 링 자기동형사상 σ를 도입하며, σ(f(x)) = f(σ(x))로 정의한다.
• 𝔽_{q^m}[x]에 속한 모닉 기약 다항식 P(x)에 대해, σ-궤도를 {σ^j(P(x)) | j ≥ 0}로 정의하고, σ^{k(P)}(P) = P가 되는 최소 양의 정수 k(P)를 그 크기로 한다.
• h(x)의 각 기약 인수 P_i에 대해, 그 궤도 크기 k(P_i) = gcd(deg(P_i), m)를 계산하고, 이를 통해 𝔽_q 위의 최소 다항식을 모든 서로 다른 σ-궤도 기약 인수들의 곱으로 구성한다.
• h(x)의 표준 인수분해 h(x) = ∏_{i=1}^k P_i^{e_{i0}} σ(P_i)^{e_{i1}} ⋯ σ^{u_i-1}(P_i)^{e_{i(u_i-1)}}를 이용하여, 𝔽_q 위의 최소 다항식 H(x)를 ∏_{i=1}^k (P_i σ(P_i) ⋯ σ^{k_i-1}(P_i))^{e_i}로 유도하며, 여기서 e_i = max{e_{ij}}이다.
• 𝔽_q 위의 선형 복잡도를 deg(H(x)) = ∑_{i=1}^k e_i ⋅ k_i ⋅ deg(P_i)로 계산하며, 여기서 k_i는 P_i의 σ-궤도 크기이다.
• 𝔽_{q^m} 위의 선형 복잡도에 대한 하한이 날카로운 것은, 최소 다항식 h(x)가 동일한 기약 인수들의 σ-궤도로 이루어져 있고, 모든 지수들이 최대일 때이므로 필요충분조건임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 𝔽_{q^m} 위의 선형 재귀 수열에 대해, 그 최소 다항식 h(x)의 𝔽_{q^m} 위에서의 표준 인수분해가 주어졌을 때, 𝔽_q 위의 최소 다항식은 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 h(x)의 기약 인수들의 σ-궤도 구조와 𝔽_q 위의 최소 다항식 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 Meidl과 Özbudak가 유도한 𝔽_{q^m} 위의 선형 복잡도에 대한 하한 조건이 날카로운가의 조건은 무엇인가?
• RQ4 𝔽_q 위의 m중 다중수열의 공동 선형 복잡도는 𝔽_{q^m} 위의 최소 다항식의 인수분해와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 Frobenius 자기동형사상 σ는 기저 체 𝔽_q 위의 최소 다항식을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 𝔽_{q^m} 위의 선형 재귀 수열에 대해 최소 다항식 h(x)가 주어졌을 때, 그 𝔽_q 위의 최소 다항식 H(x)는 H(x) = ∏_{i=1}^k (P_i σ(P_i) ⋯ σ^{k_i-1}(P_i))^{e_i}로 주어지며, 여기서 P_i는 h(x)의 기약 인수, k_i는 그 σ-궤도 크기, e_i는 궤도 구성 요소들 중 최대 중복도이다.
• 수열의 𝔽_q 위의 선형 복잡도는 deg(H(x)) = ∑_{i=1}^k e_i ⋅ k_i ⋅ deg(P_i)로 주어지며, 이는 궤도 곱의 차수를 그 중복도에 따라 가중합산한 것이다.
• 𝔽_q 위의 최소 다항식 f(x)를 가진 수열에 대해 𝔽_{q^m} 위의 선형 복잡도에 대한 하한은 ∑_{i=1}^k e_i ⋅ n_i / gcd(n_i, m)이며, 여기서 n_i = deg(r_i)는 f(x)의 기약 인수 r_i에 대해 정의된다. 이 하한은 h(x)가 f(x)의 기약 인수들의 σ-궤도로 이루어져 있고, 모든 지수가 최대일 때에만 날카로운데, 이는 필요충분조건이다.
• 𝔽_q 위의 최소 다항식 H(x)는 h(x)의 기약 인수들의 σ-궤도 분해에 의해 유일하게 결정되며, 이는 수열를 소거하는 최소 차수의 모닉 다항식이다.
• 예시에서 𝔽_2 위의 최소 다항식은 (x^2 + x + 1)(x^4 + x + 1) = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + 1이며, 𝔽_2 위의 선형 복잡도는 6으로 계산되며, 이는 2×1 + 2×2 = 6으로 계산된다.
• Meidl-Özbudak 하한의 날카로움 조건은 𝔽_{q^m} 위의 최소 다항식 h(x)가 ∏_{i=1}^k σ^{j_i}(P_i)^{e_i}의 형태를 띠며, 0 ≤ j_i ≤ u_i - 1을 만족해야 하며, 여기서 u_i = gcd(n_i, m)이다.