[논문 리뷰] The minimax approach to the estimation of solutions to first order linear systems of ordinary differential periodic equations with inexact data

A. G. Nakonechny, Yuri Podlipenko|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 16.

Statistical and numerical algorithms참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 오차가 있는 데이터를 가진 일阶 선형 주기적 상미분방정식 시스템에 대한 최소최대 추정 방법을 개발한다. 여기서 우변은 제곱형 제약 조건을 만족한다. 추정 문제를 최적제어 문제로 환원함으로써, 유일하게 해가 존재하는 주기적 상미분방정식 시스템의 해를 통해 해와 선형 함수에 대한 최소최대 추정의 명시적 표현을 도출한다.

ABSTRACT

We consider first-order linear systems of ordinary differential equations with periodic coefficients. Supposing that right-hand sides of equations are not known and subjected to some quadratic restrictions, we obtain optimal, in certain sense, estimates of solutions to above-mentioned problems from indirect noisy observations of these solutions on a finite system of points and intervals.

연구 동기 및 목표

• 우변이 제곱형 경계 조건을 만족할 때, 일阶 선형 주기적 상미분방정식의 해를 추정하는 데 도전하는 문제를 다루기.
• 유한 구간과 점에서 간접적인 노이즈 있는 관측값으로부터 해와 선형 함수에 대한 보장된(최소최대) 추정을 개발하기.
• 추정 문제를 유일하게 해가 존재하는 주기적 상미분방정식 시스템의 해로 환원할 수 있는 조건을 설정하기.
• 수반 및 원래 주기적 시스템의 해를 사용하여 최소최대 추정과 추정 오차의 명시적 해석적 표현을 제공하기.

제안 방법

• 제곱형 제약 조건 내의 모든 허용 가능한 변동에 대해 최악의 평균 제곱 오차를 최소화하는 최소최대 최적화 문제로 추정 문제를 설정하기.
• 수반 시스템을 활용하여 이중성 원리를 통해 최소최대 추정 문제를 최적제어 문제로 환원하기.
• 관측점에서 충격 조건을 가진 주기적 상미분방정식의 수반 시스템을 유도하여 최적 추정을 특성화하기.
• 비용함수의 값이 관측점에서 만족하는 선형 대수방정식 시스템을 구성하여 추정의 수치 계산 가능하게 하기.
• 기본 행렬 해와 전이 행렬(예: $X(t)$, $Z(t) = [X^*(t)]^{-1}$)을 사용하여 추정 오차와 추정 자체의 명시적 공식 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 우변이 제곱형 제약 조건을 만족함을 안다면, 주기적 선형 상미분방정식의 해에 대해 최소최대 추정을 어떻게 구할 수 있는가?
• RQ2 해의 간접적인 노이즈 있는 관측값이 이산적인 점과 구간에서 이루어질 경우, 최적 선형 추정의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 최소최대 추정 문제는 어떻게 해가 존재하는 최적제어 문제로 변환될 수 있는가?
• RQ4 유도된 주기적 상미분방정식 시스템의 유일한 해가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 추정 오차와 최적 추정은 시스템의 기본 행렬 해를 통해 어떻게 명시적으로 표현되는가?

주요 결과

• 해의 최소최대 추정은 관측값의 선형 조합으로 명시적으로 표현되며, 계수는 주기적 상미분방정식 시스템의 해로부터 유도된다.
• 추정 오차는 유일한 주기적 상미분방정식 시스템의 해에 의해 결정되며, 최악의 변동 상황에서도 안정성과 최적성을 보장한다.
• 관측점에서 비용함수의 값은 선형 대수방정식 시스템을 만족하며, 조건 $\det(E_n - X(T)) \neq 0$ 하에서 해가 존재한다.
• 최적 추정과 추정 오차는 기본 행렬 $X(t)$와 그 수반 행렬 $Z(t) = [X^*(t)]^{-1}$ 를 사용하여 닫힌 형태로 표현된다.
• 이 방법은 제곱형 불확실성 제약 조건 하에서 주기적 시스템에 대한 최소최대 칼만–부차 타입 필터를 제공한다.
• 명시적 공식 유도를 통해 $p(t)$, $\hat{z}(t)$, 및 $\hat{x}(t)$ 를 유도함으로써, 추정이 충격 조건이 있는 이중 주기적 시스템의 해와 연결됨을 입증하였다.