[논문 리뷰] The minimizing vector theorem in symmetrized max-plus algebra

Cenap Özel, Artur Piękosz외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 21.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Zermelo-Fraenkel 집합론(ZF)에서 선택공리 없이, 대칭화된 max-plus 대수에서 비어 있지 않은 부분집합이 체비세프(즉, 모든 원소에 대해 유일한 가장 가까운 점을 갖는)임과 동시에 닫혀 있고 연결되어 있음이 동치임을 증명한다. 저자들은 유한 개의 대칭화된 max-plus 공간의 곱에서, 위상수학적 및 기하학적 추론을 사용하여, ZF에서 선택공리를 배제한 상태에서, 근접성과 체비세프 집합에 관한 새로운 결과를 도출하며, 이는 최소화 벡터 정리에 응용된다.

ABSTRACT

Assuming ZF and its consistency, we study some topological and geometrical properties of the symmetrized max-plus algebra in the absence of the axiom of choice in order to discuss the minimizing vector theorem for finite products of copies of the symmetrized max-plus algebra. Several relevant statements that follow from the axiom of countable choice restricted to sequences of subsets of the real line are shown. Among them, it is proved that if all simultaneously complete and connected subspaces of the plane are closed, then the real line is sequential. A brief discussion about semidenrites is included. Older known proofs in ZFC of several basic facts relevant to proximinal and Chebyshev sets in metric spaces are replaced by new proofs in ZF. It is proved that a nonempty subset C of the symmetrized max-plus algebra is Chebyshev in this algebra if and only if C is simultaneously closed and connected. An application of it to a version of the minimizing vector theorem for finite products of the symmetrized max-plus algebra is shown. Open problems concerning some statements independent of ZF and other statements relevant to Chebyshev sets are posed.

연구 동기 및 목표

• 유한 개의 대칭화된 max-plus 대수(SMPA)에서 Zermelo-Fraenkel 집합론(ZF)에서 선택공리를 배제한 조건 하에서 최소화 벡터 정리를 조사하는 것.
• 위상수학적 및 기하학적 성질을 사용하여 SMPA 및 그 유한 곱에서 체비세프 집합을 특성화하는 것.
• 기존의 ZFC 기반의 근접성 및 체비세프 집합 성질에 대한 증명을, 선택공리를 사용하지 않는 새로운 더 섬세한 증명으로 대체하는 것.
• 특히 실수의 메트릭 완비성과 순서성 조건 하에서, SMPA의 부분집합이 동시에 닫혀 있고 연결되어 있으며 체비세프임을 만족하는 조건을 규명하는 것.
• SMPA 및 그 곱에서 체비세프 집합의 구조와 볼록성, 완비성 간의 관계에 관한 열린 문제를 제기하는 것.

제안 방법

• 선택공리를 배제한 상태에서 Zermelo-Fraenkel 집합론(ZF)을 기본 틀로 사용하며, 필요에 따라 실수의 부분집합에 대해 가산 선택공리를 제한적으로 적용한다.
• 대칭화된 max-plus 대수 $\mathbb{S}$ 위에 두 개의 동치 메트릭인 $d_1$과 $d_2$를 도입하고, 내부 메트릭에 의해 유도된 위상을 $\mathbb{S}$에 부여함으로써, $\mathbb{S}$가 $\mathbb{C}$에 삽입 가능한 반결합체(semidendrite)가 되도록 한다.
• 기하학적 선분을 $\mathbb{S}^n$ 내에서 $\mathbb{C}^n$ 안의 꺾인 선으로 정의하고, 상자 반모듈러 볼록성(box semimodule convexity)을 $\mathbb{S}$ 내의 반모듈러 볼록 집합들의 카르테시안 곱으로 정의한다.
• 연결성 성질과 근접 집합의 위상적 분석을 통해, $\mathbb{S}$의 닫혀 있고 연결된 부분집합이 정확히 $d_i$-체비세프 집합임을 증명한다.
• $\mathbb{S}^n$에서, 제품 메트릭 $\rho_{k,j}$ 하에 집합이 $\rho_{k,j}$-체비세프임과 연결되어 있음이 동치임을 증명하며, 메트릭 사영의 원상은 최대 $3^n$개의 점으로 구성됨을 보인다.
• 반모듈러의 구조와 $\mathbb{S}^n$ 위의 자연스러운 위상을 사용하여 메트릭의 완비성 및 Cantor-완비성 분석을 수행하고, 이를 실수의 순서성과 연관지운다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ZF에서 선택공리를 배제한 조건 하에서, $\mathbb{S}$의 동시에 닫혀 있고 연결된 부분집합은 항상 체비세프 집합인가?
• RQ2 모든 동시에 완비이고 연결된 평면의 부분공간이 닫혀 있다면, 실수 직선은 순서적인가?
• RQ3 $\mathbb{S}^n$에서, 집합 $D_i$-체비세프임과 기하학적으로 볼록임이 동치인가?
• RQ4 최소화 벡터 정리는 $\mathbb{S}^n$에서 ZF와 실수 부분집합에 대한 가산 선택공리만을 사용하여 완전히 특성화될 수 있는가?
• RQ5 무한차원 힐베르트 공간에서, 동시에 볼록이고 완비인 부분집합은 ZF 하에서 Cantor-완비인가?

주요 결과

• 비어 있지 않은 부분집합 $C$가 대칭화된 max-plus 대수 $\mathbb{S}$에서 $d_i$-체비세프임과 동시에 닫혀 있고 연결되어 있음이 동치이다.
• $\mathbb{S}^n$에서, 집합 $A = \prod_{i \in n} A_i$가 제품 메트릭 $\rho_{k,j}$ 하에 $\rho_{k,j}$-체비세프임과 $A$가 연결되어 있음이 동치이다.
• 닫혀 있고 상자 반모듈러 볼록 집합인 $A \subseteq \mathbb{S}^n$에 대해, 메트릭 사영 $P_{\rho_{k,j},A}(x)$는 최대 $3^n$개의 점으로 구성된다.
• 모든 동시에 완비이고 연결된 평면의 부분공간이 닫혀 있다면, 실수 직선은 순서적이다. 이 결과는 ZF 하에서 이 문장과 동치임을 증명하였다.
• 기존의 메트릭 공간에서의 근접성 및 체비세프 집합 성질에 대한 고전적 증명들은 선택공리를 사용하지 않는 새로운 ZF에 유효한 증명으로 대체되었다.
• 열린 문제로 제기됨: $n > 1$인 $\mathbb{S}^n$에서, 집합이 $D_i$-체비세프임과 기하학적으로 볼록임이 동치인가?