[논문 리뷰] The Mittag-Leffler function

Piet Van Mieghem|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 27.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 31인용 수 65

한 줄 요약

이 논문은 Mittag-Leffler 함수 E_{a,b}(z)에 대한 자체적으로 포함된 리뷰를 제공하며, 새로운 결과를 포함하고, 복소해석, 특수값, 미분, 관계 및 분수적 계산에서의 응용을 다룬다.

ABSTRACT

We review the function theoretical properties of the Mittag-Leffler function $E_{a,b}\left( z ight) $ in a self-contained manner, but also add new results; more than half is new!

연구 동기 및 목표

• Mittag-Leffler 함수 E_{a,b}(z)의 기능적 특성을 명확히 하고 엄밀한 해석적 프레임워크를 설정한다.
• 그 분의 미분, 재귀 및 특수값에 관한 새로운 결과를 제시하여 분수 미적분학에서의 적용성을 높인다.
• E_{a,b}(z)와 관련 함수(예: 초다항함수, 쌍대, cosh, erfc 등)와의 연결 고리 및 유용한 항등식을 도출한다.
• 영점, 차수 및 성장도에 대해 논하고 확률적 및 물리적 응용을 지원하는 기본 관계를 확립한다.

제안 방법

• E_{a,b}(z) = sum_{k=0}^{∞} z^{k} / Γ(b + a k)로 정의하고 분석한다.
• 미분 규칙 az d/dz E_{a,b}(z) = E_{a,b-1}(z) − (b−1) E_{a,b}(z)와 같은 핵심 항등식을 도출한다.
• E_{a,b}(z) = (1/z)(E_{a,b−a}(z) − 1/Γ(b−a))와 E_{a,b}(z) = (1/Γ(b)) + z E_{a,b+a}(z)와 같은 시프트/재귀 공식을 얻고 활용한다.
• 특수값(예: E_{1,1}(z)=e^{z}, E_{2,1}(z)=cosh(√z)) 및 순환분해(E_{am,b}(z^{m}) 관계)와 같은 성질을 탐구한다.
• Γ(·)에 대한 Hadamard형 경계와 E_{a,b}(z)를 상한하는 성장을 분석하여 경계들을 제시한다.
• 일반적 및 부분 분수 a에 대한 미분 재귀식과 전개를 개발하고 E_{1/n,b}(z^{1/n})의 경우를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Re(a)>0인 경우 E_{a,b}(z)의 기본적인 해석적 특성(전 해, 차수)은 무엇인가?
• RQ2 b 및 a의 이동을 통해 E_{a,b}(z)를 미분하고 연결하는 방법과 그에 따른 재귀적 구조는 무엇인가?
• RQ3 E_{a,b}(z)와 초월함수 또는 고전 특수함수와 연결되는 특수값 및 표현은 무엇인가?
• RQ4 E_{a,b}(z)의 cyclotomic 및 다가값(det) 분해는 어떻게 작용하며 그 함의는 무엇인가?
• RQ5 분수 미적분학 및 관련 분야의 응용을 돕기 위해 어떤 경계, 영점, 성장 결과를 확립할 수 있는가?

주요 결과

• Re(a) > 0인 모든 b에 대해 E_{a,b}(z)는 차수 ρ = 1/a의 전개해 함수이다.
• 기본 미분 규칙 az d/dz E_{a,b}(z) = E_{a,b-1}(z) − (b−1) E_{a,b}(z).
• E_{a,b}(z) = (1/z)(E_{a,b−a}(z) − 1/Γ(b−a)) 및 E_{a,b}(z) = (1/Γ(b)) + z E_{a,b+a}(z)와 같은 여러 시프트/재귀식이 성립한다.
• 순환적 특성: E_{am,b}(z^{m}) = (1/m) ∑_{r=0}^{m−1} E_{a,b}(z e^{i 2π r/m}).
• 특정 경우는 초등함수와의 연결(E_{1,1}(z)=e^{z}, E_{2,1}(z)=cosh(√z)) 및 초다항함수로의 연결(E_{1,b}(z)=M(1,b,z)/Γ(b))을 제공한다.
• 경계 및 점근적 성질에는 Hadamard형 경계 및 e^{x^{1/a}}와의 비교를 통한 예측 가능한 성장 추정이 포함된다.
• 부분 분수 a에 대한 분석은 E_{1/n,b}(x)를 불완전 감마 함수 및 지수함수로 표현하는 방법과, 이러한 함수의 차수 n을 강조한다.
• 로그 미분 d/dz log E_{a,b}(z)는 z>0 및 b>1에서 양의 값을 가지며 실수 축에서의 로그 성장이 단조적으로 증가함을 시사한다.
• 임의의 z0를 중심으로 한 테일러 전개가 가능하고, 특수한 미분 재귀를 통해 z0에서 E_{a,b−j}(z0)를 이용한 전개가 가능하다.