[논문 리뷰] The mixed Einstein-Hilbert action and extrinsic geometry of foliated manifolds

Elisabetta Barletta, Sorin Dragomir외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 23.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 보편적 분할 다중다양체에 대해 혼합 아인슈타인-힐베르트 작용을 정의함으로써, 보완적인 분포에서 온 벡터들이 생성하는 평면 위의 섹션 곡률을 평균화한 총 혼합 스칼라 곡률 $ S_{\text{mix}} $를 정의한다. 수직성을 유지하는 적응적 메트릭 변형에 대해 오일러-라그랑주 방정식을 유도하며, 외재 기하학과 부분 리치 텐서를 통해 두 형태로 표현한다. 해로는 비틀린 곱과 특정 편미분방정식을 만족하는 등각 메트릭이 포함된다.

ABSTRACT

We develop variation formulas for the quantities of extrinsic geometry for adapted variations of metrics on almost-product (e.g. foliated) Riemannian manifolds, and apply them to study the total mixed scalar curvature of a distribution -- analogue of the classical Einstein-Hilbert action. The mixed scalar curvature ${ m S}_{\, m mix}$ is the averaged sectional curvature over all planes that contain vectors from both distributions of an almost-product structure and the variations we consider preserve orthogonality of the distributions. We derive the directional derivative $D J_{\, m mix}$ (of the total ${ m S}_{\, m mix}$) for adapted variations of metrics on closed almost-product manifolds and foliations of arbitrary dimension. The obtained Euler-Lagrange equations are presented in two equiva\-lent forms: in terms of extrinsic geometry and intrinsically using the partial Ricci tensor. Certainly, these mixed field equations admit amount of solutions (e.g., twisted products).

연구 동기 및 목표

• 기하학적 양에 대한 적응적 메트릭 변형에 따른 변형 공식을 거의 곱 및 분할 리만다양체에서 개발하는 것.
• 아인슈타인-힐베르트 작용과 유사한 기하 작용함수로 총 혼합 스칼라 곡률 $ S_{\text{mix}} $를 정의하고 연구하는 것.
• 닫힌 분할 다중다양체에서 적응적 변형에 대해 총 혼합 스칼라 곡률의 방향 도함수 $ DJ_{\text{mix}} $를 유도하는 것.
• 결과적으로 오일러-라그랑주 방정식을 두 가지 등가 형태로 제시하는 것: 하나는 외재 기하학에 기반하고 다른 하나는 부분 리치 텐서를 사용하는 것.
• 비틀린 곱과 특정 편미분방정식을 만족하는 등각 메트릭과 같은 기하학적 해를 식별하는 것, 포함 $ \phi_x^2 + \frac{1}{2}\phi_y^2 + e^\phi \phi_y = 0 $.

제안 방법

• 기하학적 양에 대한 적응적 메트릭 변형을 통해, 보완적인 분포 $ \mathcal{D} $ 와 $ \widetilde{\mathcal{D}} $ 간의 수직성을 유지하면서, 두 개의 보완적 분포에서 각각 하나의 벡터를 포함하는 평면 위의 섹션 곡률 평균으로 혼합 스칼라 곡률 $ S_{\text{mix}} $를 정의한다.
• 보완 분포의 수직성을 유지하는 메트릭의 적응적 변형을 고려하여, 정규 범주화의 구조가 일관되게 유지되도록 한다.
• 총 혼합 스칼라 곡률 기능 $ J_{\text{mix}} = \int_M S_{\text{mix}} \, d\text{vol}_g $ 의 첫 번째 변형 $ DJ_{\text{mix}} $ 를, 제2 기본 형식과 곡률 항을 포함하는 변형 공식을 사용하여 유도한다.
• 오일러-라그랑주 방정식을 두 가지 형태로 표현한다: 하나는 평균 곡률과 제2 기본 형식(외재 기하학)을 포함하고, 다른 하나는 부분 리치 텐서 $ \text{Ric}^{\mathcal{D}} $ 와 $ \text{Ric}^{\widetilde{\mathcal{D}}} $ 를 사용한다.
• 유클리드 메트릭의 등각 변형을 분석하여, 임계점 편미분방정식 $ \phi_x^2 + \frac{1}{2}\phi_y^2 + e^\phi \phi_y = 0 $ 를 도출하고, 반평면에서의 구체적 해들인 $ g_c = (2y + c)^{-1}(dx^2 + dy^2) $ 를 구성한다.
• 결과를 코드임계도 1 분할에 적용하여, 유클리드 메트릭이 $ f(z) = z^2 $ 에 대해 $ \mathbb{R}\nabla u $-임계점이 아니며, 임계점 조건 $ -2(u_{xx}^2 + u_{xy}^2) + \lambda^{-2}\mathcal{L}(u) + \lambda^{-4}\mathcal{L}(u)^2 = 0 $ 이 성립하지 않음을 확인함으로써, 임계점 조건의 비자명성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할 다중다양체에 대해 아인슈타인-힐베르트 작용의 적절한 일반화는 무엇이며, 외재 곡률과 어떻게 관련되는가?
• RQ2 분포의 수직성을 유지하는 메트릭의 변형은 총 혼합 스칼라 곡률에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 총 혼합 스칼라 곡률 기능의 임계 메트릭에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 무엇인가?
• RQ4 임계점 방정식은 부분 리치 텐서를 사용하여 내재적으로 표현할 수 있으며, 외재 표현과 비교해보면 어떻게 되는가?
• RQ5 비틀린 곱 또는 등각 메트릭과 같은 명시적 해가 임계점 방정식에 존재하는가?

주요 결과

• 닫힌 거의 곱 다중다양체에서 적응적 변형에 대해 총 혼합 스칼라 곡률 기능의 방향 도함수 $ DJ_{\text{mix}} $ 가 유도되었으며, 곡률과 제2 기본 형식 항을 포함하는 완전한 변형 공식이 도출되었다.
• 기능 $ J_{\text{mix}} $ 의 오일러-라그랑주 방정식은 두 가지 형태로 동치임을 보였으며, 하나는 평균 곡률과 제2 기본 형식(외재 기하학)을 포함하고, 다른 하나는 부분 리치 텐서 $ \text{Ric}^{\mathcal{D}} $ 를 사용한다.
• 유클리드 메트릭의 등각 변형을 통해 명시적 임계 메트릭이 구성되었으며, 이는 편미분방정식 $ \phi_x^2 + \frac{1}{2}\phi_y^2 + e^\phi \phi_y = 0 $ 을 만족한다. 해 $ \phi(y) = -\log|2y + c| $ 는 반평면에서 메트릭 $ g_c = (2y + c)^{-1}(dx^2 + dy^2) $ 를 유도한다.
• x-축에 평행한 직선으로 이루어진 분할에 대해, 메트릭 $ g_c = (2y + c)^{-1}(dx^2 + dy^2) $ 는 $ \mathcal{D} $-임계점이 되며, 유클리드 경우 외에도 비자명한 임계 메트릭의 존재를 보여준다.
• 유클리드 메트릭은 $ f(z) = z^2 $ 에 대해 $ \mathbb{R}\nabla u $-임계점이 아니며, 임계점 조건 $ -2(u_{xx}^2 + u_{xy}^2) + \lambda^{-2}\mathcal{L}(u) + \lambda^{-4}\mathcal{L}(u)^2 = 0 $ 가 성립하지 않음을 확인함으로써, 임계점 조건의 비자명성을 확인한다.
• 비선형 연산자 $ \mathcal{L}(u) = (u_x^2 - u_y^2)u_{xx} + 2u_x u_y u_{xy} $ 는 형상 연산자의 추적에 나타나며, 이는 수준 분할의 외재 기하학과 연결된다.