[논문 리뷰] The model companions of set theory

Giorgio Venturi, Matteo Viale|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 29.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은, 반복적으로 많은 윌딩 카디널을 가정할 때, $H_{\omega_1}$ (영구적으로 가чёт한 집합들)의 일阶 논리 이론이, $\Delta_0$-수식과 보편적으로 바이어 집합들을 위한 기호를 포함하는 서명으로 확장된 상태에서, 우주 $V$의 이론과 비교할 때 모델 동반자임을 확립한다. 이는 $\Pi_2$-문장이 $V$에서 강제화 가능한지 여부가, $V$의 이론의 전지수 조각과의 일致성과 정확히 일치함을 보여주며, 이는 $V$의 이론의 모델 동반자에서도 성립한다.

ABSTRACT

This is an introductory paper to a series of results linking generic absoluteness results for second and third order number theory to the model theoretic notion of model companionship. Specifically we develop here a general framework linking Woodin's generic absoluteness results for second order number theory and the theory of universally Baire sets to model companionship and show that (with the required care in details) a $Π_2$-property formalized in an appropriate language for second order number theory is forcible from some $T\supseteq\mathsf{ZFC}+$large cardinals if and only if it is consistent with the universal fragment of $T$ if and only if it is realized in the model companion of $T$. In particular we show that the first order theory of $H_{ω_1}$ is the model companion of the first order theory of the universe of sets assuming the existence of class many Woodin cardinals, and working in a signature with predicates for $Δ_0$-properties and for all universally Baire sets of reals. We will extend these results also to the theory of $H_{\aleph_2}$ in a follow up of this paper.

연구 동기 및 목표

• 모델 이론에서의 모델 동반자와 집합론에서의 일반적 절대성 간의 깊은 연결을 확립하기 위해.
• 큰 기수 조건 하에서 $H_{\omega_1}$의 일阶 논리 이론이 $V$의 일阶 논리 이론의 모델 동반자임을 보여주기 위해.
• $\Delta_0$-수식과 보편적으로 바이어 실수 집합들을 위한 기호를 포함하는 확장된 서명으로 집합론을 형식화하여, 다양한 모델 간의 의미적 명료성을 보장하기 위해.
• $\Pi_2$-문장이 $V$에서 강제화 가능한지 여부가 $V$의 이론의 전지수 조각과의 일치성과 정확히 일치함을 보여주기 위해.
• 향후 연구에서 $H_{\aleph_2}$로 이러한 결과를 확장하기 위한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 집합론의 일阶 언어에 $\Delta_0$-수식과 보편적으로 바이어 실수 집합들을 위한 기호를 추가하여, 다양한 모델 간의 해석 가능성을 보장하기 위해.
• 로빈슨의 모델 동반자 개념과 무한 강제화를 사용하여 이론의 모델 동반자를 특성화하기 위해.
• 우드인의 두 번째 순서 수 이론에 대한 일반적 절대성 결과를 적용하여, $V$의 이론의 전지수 조각과 일치하는 $\Pi_2$-문장이 모델 동반자에서 실현됨을 보여주기 위해.
• 클래스 많은 윌딩 카디널을 가정할 경우, $V$의 이론의 모델 동반자가 정확히 $H_{\omega_1}$의 이론임을 증명하기 위해.
• $\Pi_2$-문장이 $V$에서 강제화 가능한지 여부가 $V$의 이론의 전지수 조각과의 일치성과 정확히 일치함을 증명하기 위해.
• 모델 동반자가 강제화의 무한한 구조에 대해 정확히 그 모델임을 보여주는 사실을 활용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모델 이론에서의 모델 동반자 개념과 집합론에서의 일반적 절대성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ2 확장된 서명(즉, $\Delta_0$-수식과 보편적으로 바이어 기호를 포함하는 서명)에서 $H_{\omega_1}$의 일阶 논리 이론이 $V$의 이론의 모델 동반자인가?
• RQ3 강제화 가능성은 $V$의 이론의 전지수 조각과의 일치성으로 특성화될 수 있는가?
• RQ4 큰 기수, 특히 클래스 많은 윌딩 카디널은 왜 $H_{\omega_1}$의 이론이 $V$의 이론의 모델 동반자임을 보장하는 데 핵심적인 역할을 하는가?
• RQ5 보편적으로 바이어 집합을 포함하는 확장된 서명은 의미적 명료성을 유지하고 모델 이론적 분석을 지원하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 클래스 많은 윌딩 카디널을 가정할 경우, $\Delta_0$-수식과 보편적으로 바이어 집합들을 위한 기호를 포함하는 확장된 서명에서, $H_{\omega_1}$의 일阶 논리 이론은 $V$의 이론의 모델 동반자이다.
• 확장된 서명에서의 $\Pi_2$-문장은 $V$에서 강제화 가능한지 여부가 $V$의 이론의 전지수 조각과의 일치성과 정확히 일치한다.
• 모델 동반자에서 $\Pi_2$-문장이 실현되는지 여부는 $V$의 이론의 전지수 조각과의 일치성과 정확히 일치한다.
• 클래스 많은 윌딩 카디널을 가정할 경우, $V$의 이론의 모델 동반자는 정확히 $H_{\omega_1}$의 이론이며, 이는 확장된 서명에서 모델 완전하다.
• 주어진 큰 기수 조건 하에서, $\Pi_2$-문장의 강제화 가능성은 정확히 $V$의 이론의 전지수 조각과의 일치성과 일치한다.
• 향후 연구에서 이러한 결과는 $H_{\aleph_2}$로 확장되었으며, 일반적 절대성과 모델 동반자 간의 유사한 연결 고리가 성립할 것으로 예상된다.