[논문 리뷰] The modified logarithmic Sobolev inequality for quantum spin systems: classical and commuting nearest neighbour interactions

Ángela Capel, Cambyse Rouzé외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 24.

Quantum many-body systems참고 문헌 109인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 고전적 또는 가환성 있는 최근접 이웃 상호작용을 갖는 양자 스핀 시스템에 대해 체계의 크기와 무관한 수정 로그 Sobolev 부등식(MLSI)을 처음으로 확립한다. 이는 공간 혼합 조건 하에서 평형 상태로의 지수적 수렴과 유한 블록 내에서의 빠른 감쇠를 보여준다. 핵심 기여는 수렴 과정을 국소적 및 전역적 단계로 분해하는 새로운 '박리(peeling)' 기법을 도입한 것으로, 이는 효율적인 양자 금속 상태 준비와 양자 정보 분야의 새로운 응용 가능성을 열어준다.

ABSTRACT

Given a uniform, frustration-free family of local Lindbladians defined on a quantum lattice spin system in any spatial dimension, we prove a strong exponential convergence in relative entropy of the system to equilibrium under a condition of spatial mixing of the stationary Gibbs states and the rapid decay of the relative entropy on finite-size blocks. Our result leads to the first examples of the positivity of the modified logarithmic Sobolev inequality for quantum lattice spin systems independently of the system size. Moreover, we show that our notion of spatial mixing is a consequence of the recent quantum generalization of Dobrushin and Shlosman's complete analyticity of the free-energy at equilibrium. The latter typically holds above a critical temperature Tc. Our results have wide-ranging applications in quantum information. As an illustration, we discuss four of them: first, using techniques of quantum optimal transport, we show that a quantum annealer subject to a finite range classical noise will output an energy close to that of the fixed point after constant annealing time. Second, we prove Gaussian concentration inequalities for Lipschitz observables and show that the eigenstate thermalization hypothesis holds for certain high-temperture Gibbs states. Third, we prove a finite blocklength refinement of the quantum Stein lemma for the task of asymmetric discrimination of two Gibbs states of commuting Hamiltonians satisfying our conditions. Fourth, in the same setting, our results imply the existence of a local quantum circuit of logarithmic depth to prepare Gibbs states of a class of commuting Hamiltonians.

연구 동기 및 목표

• 체계의 크기와 무관한 수정 로그 Sobolev 부등식(MLSI)을 고전적 또는 가환성 있는 최근접 이웃 상호작용을 갖는 양자 스핀 시스템에 대해 확립하기.
• 공간 혼합 조건과 빠른 국소적 감쇠 조건 하에서 상대 엔트로피의 지수적 수렴이 평형 상태로 수렴함을 증명하기.
• 동적 혼합 성질과 평형 상관관계 감쇠 사이의 연결 고리를 양자 일반화된 Dobrushin과 Shlosman의 완전 분석성에 기반하여 설정하기.
• 양자 정보 분야에 새로운 응용을 개발하기, 특히 양자 냉각, 농도 경계, 가설 검정, 효율적인 금속 상태 준비를 포함하여.
• 수렴 과정을 국소적 및 전역적 단계로 분해하는 데 사용되는 '박리' 방법을 도입하기.

제안 방법

• 먼저 유한 크기 격자 입자에서의 빠른 수렴을 분석하는 '박리' 전략을 도입하며, 이는 유한 블록 MLSI에 기반한다.
• 최근 유도된 상대 엔트로피의 근사 텐서 분해를 사용하여 공간 혼합 조건 하에서 전역 수렴 단계를 제어한다.
• 공간 혼합 조건이 평형 상태에서 자유 에너지의 양자 일반화된 Dobrushin과 Shlosman의 완전 분석성으로부터 유도됨을 증명한다.
• 제시된 조건 하에서 체계 크기와 무관하게 수정 로그 Sobolev 부등식이 균일하게 성립함을 증명한다.
• 양자 최적 운반 이론 기법을 적용하여 혼합 시간과 양자 냉각에서 노이즈에 대한 내성 사이의 관계를 규명한다.
• 가환 해밀토니안의 금속 상태를 ε-트레이스 거리 이내로 준비하기 위한 깊이 O(ln(|Λ|)ε⁻¹)의 효율적인 국소 양자 회로를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 또는 가환성 있는 상호작용을 갖는 양자 스핀 시스템에 대해 체계 크기와 무관한 수정 로그 Sobolev 부등식을 증명할 수 있는가?
• RQ2 금속 상태의 공간 혼합 조건이 이러한 시스템에서 상대 엔트로피의 평형 상태로의 빠른 수렴을 유도하는가?
• RQ3 박리 기법을 사용하여 격자 상의 양자 마르코프 과정의 수렴을 분해하고 제어할 수 있는가?
• RQ4 이 MLSI가 금속 상태 준비 및 양자 냉각과 같은 양자 정보 작업에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 고전적 상관관계 감쇠 조건의 양자 일반화는 동적 혼합 성질과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 고전적 또는 가환성 있는 최근접 이웃 상호작용을 갖는 양자 스핀 시스템에 대해 체계 크기와 무관한 수정 로그 Sobolev 부등식의 첫 번째 조건 없는 증명이 확립된다.
• 공간 혼합 조건과 빠른 국소적 감쇠 조건 하에서 상대 엔트로피의 지수적 수렴이 평형 상태로 수렴함을 증명하였으며, 수렴 시간은 체계 크기의 로그 비례로 스케일링된다.
• 공간 혼합 조건이 평형 상태에서 자유 에너지의 양자 일반화된 Dobrushin과 Shlosman의 완전 분석성으로부터 유도됨을 보였다.
• 가환 금속 상태의 비대칭 식별을 위한 양자 스텐의 보완적 유한 블록 길이 개선형을 증명하였다.
• 리프시츠 관측량에 대해 가우시안 농도 불등식을 유도하였으며, 조건 하에서 고온 금속 상태에 대해 고유 상태 열역역학 가정이 성립함을 보였다.
• 가환 해밀토니안의 금속 상태를 ε-트레이스 거리 이내로 준비하기 위한 깊이 O(ln(|Λ|)ε⁻¹)의 효율적인 국소 양자 회로를 구성하였다.