[논문 리뷰] The modified Mellin transform of powers of the zeta-function

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|2005. 02. 01.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 수정된 멜린 변환 $\mathcal{Z}_k(s) = \int_1^\infty |\zeta(1/2 + ix)|^{2k} x^{-s} dx$ 를 조사하며, 그 해석적 계속성과 평균 제곱 추정을 확립한다. 특히 $k=1$ 과 $k=2$ 에 초점을 맞춘다. 주요 기여는 제8모멘트 추정 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^8 dt \ll T^{1+\varepsilon}$ 가 $\mathcal{Z}_2(s)$ 의 평균 제곱 추정과 스펙트럼 적분 평균과 동치임을 증명하는 것으로, 리만 제타 함수의 모멘트와 스펙트럼 이론을 연결한다.

ABSTRACT

The modified Mellin transform ${\cal Z}_k(s) = \int_1^\infty |ζ(1/2+ix)|^{2k}x^{-s}{ m d} x (k = 1,2,...)$ is investigated. Analytic continuation and mean square estimates of ${\cal Z}_k(s) $ are discussed, as well as connections with power moments of $|ζ(1/2+ix)|$, with the special emphasis on the cases $k = 1,2$.

연구 동기 및 목표

• 수정된 멜린 변환 $|\zeta(1/2 + ix)|^{2k}$ 의 해석적 계속성과 평균 제곱 행동을 연구한다.
• |$\zeta(1/2 + it)$ 의 $2k$-번째 모멘트에 대한 추정을 $\mathcal{Z}_k(s)$ 와 관련된 스펙트럼 적분의 평균 제곱 추정과 연결한다.
• 제8모멘트 추정 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^8 dt \ll T^{1+\varepsilon}$ 와 $\mathcal{Z}_2(s)$ 의 평균 제곱 추정 및 스펙트럼 평균 $I(T,G)$ 간의 동치성을 확립한다.
• 리만 제타 함수의 임계선 상에서 값의 분포를 이해하는 데 있어 $\mathcal{Z}_k(s)$ 의 역할을 명확히 한다.

제안 방법

• 정리 1 을 통해 $\mathcal{Z}_k(s)$ 의 해석적 계속성이 $|\zeta(1/2 + it)|$ 의 모멘트 추정과 연결되며, $\Re(s) > c$ 에서의 수렴이 $L^2$-형 모멘트 추정과 관련된다.
• Cauchy-Schwarz 부등식과 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt$ 에 대한 기존 추정, 특히 $k=2$ 에 대해 $\mathcal{Z}_k(s)$ 의 평균 제곱 추정이 유도된다.
• 정리 6 의 증명은 $\int_T^{2T} |\mathcal{Z}_2(1+it)|^2 dt \ll T^\varepsilon$ 의 항등식을 사용하여 제8모멘트에 대한 추정을 도출하며, 적분 표현과 스펙트럼 이론에 의존한다.
• 가우시안 가중치를 포함하는 $I(T,G)$ 의 명시적 공식은 $\mathcal{Z}_2(s)$ 와 스펙트럼 이론을 연결하는 데 사용되며, $|\zeta(1/2 + it)|^4$ 에 대한 Motohashi 공식을 활용한다.
• 부분 적분과 $L^2$-노름 추정을 통해 제8모멘트 추정 $\ll T^{1+\varepsilon}$ 과 평균 제곱 추정 $\int_1^T |\mathcal{Z}_2(1+it)|^2 dt \ll T^\varepsilon$ 간의 동치성이 확립된다.
• 기존의 모멘트 추정, 예를 들어 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^8 dt \ll T^{3/2 + \varepsilon}$ 과 함께, $\mathcal{Z}_2(s)$ 추정에서의 지수를 향상시키면 제8모멘트 추정의 지수를 개선할 수 있음을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수정된 멜린 변환 $\mathcal{Z}_k(s)$ 의 해석적 계속성은 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt$ 의 성장과 어떻게 관련되는가?
• RQ2 $\mathcal{Z}_2(s)$ 의 평균 제곱과 $|\zeta(1/2 + it)|$ 의 제8모멘트 사이의 연결 고리는 무엇인가?
• RQ3 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^8 dt \ll T^{1+\varepsilon}$ 는 스펙트럼 적분 평균 $I(T,G)$ 를 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ4 $\mathcal{Z}_2(s)$ 의 평균 제곱 추정에서의 지수 개선이 제8모멘트 추정에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 Motohashi의 스펙트럼 공식은 $\mathcal{Z}_2(s)$ 와 제8모멘트 문제를 어떻게 연결하는가?

주요 결과

• $\mathcal{Z}_k(s)$ 는 $|\zeta(1/2 + it)|$ 의 $2k$-번째 모멘트가 $T^{c+\varepsilon}$ 와 같이 성장할 때에만 $\Re(s) > c$ 에서 해석적 계속성이 가능하다.
• $k=2$ 에 대해 $\int_1^T |\mathcal{Z}_2(1+it)|^2 dt \ll T^\varepsilon$ 는 조건 없이 성립하며, 현재까지의 기존 추정으로부터 지수 $3/5 + \varepsilon$ 가 알려져 있다.
• 제8모멘트 추정 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^8 dt \ll T^{1+\varepsilon}$ 는 평균 제곱 추정 $\int_1^T |\mathcal{Z}_2(1+it)|^2 dt \ll T^\varepsilon$ 와 동치이다.
• $T^\varepsilon \leq G \leq T$ 에 대해 $\int_T^{2T} I^2(t,G) dt \ll T^{1+\varepsilon}$ 를 만족하는 $I(T,G)$ 는 스무딩된 $L^4$-평균이며, 이는 제8모멘트 추정과 지수 $\theta = 1$ 에서 동치이다.
• $\int_1^T |\mathcal{Z}_2(1+it)|^2 dt \ll T^{\varepsilon}$ 의 지수를 $3/5$ 이하로 개선하면, 기존의 제8모멘트 추정 $\ll T^{3/2 + \varepsilon}$ 에서 지수를 $3/2$ 이하로 개선할 수 있다.
• 제8모멘트와 스펙트럼 평균 $I(T,G)$ 간의 동치성은 Motohashi의 명시적 공식을 통해 확립되며, 제타 함수의 모멘트와 스펙트럼 이론을 연결한다.