[논문 리뷰] The modular height of an abelian variety and its finiteness property

Atsushi Moriwaki|ArXiv.org|2003. 10. 14.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 아라켈로프 기하학과 네론 모델을 이용하여 ℚ의 유한형도수를 가진 체 위의 아벨 다양체의 모듈라 높이를 정의하고, 허지의 번들 위의 팔링스 메트릭을 통한 높이를 정의한다. 큰 극화 조건 하에서 모듈라 높이가 유계인 아벨 다양체의 동형류의 유한성을 증명하며, 팔링스의 유한성 결과를 기하학적으로 일반적인 체로 일반화한다.

ABSTRACT

In this note, we propose the modular height of an abelian variety defined over a field of finite type over Q. Moreover, we prove its finiteness property.

연구 동기 및 목표

• 수체 위의 아벨 다양체에 대한 팔링스의 유한성 결과를 ℚ의 유한형도수를 가진 체로 확장한다.
• 아라켈로프 기하학을 이용하여, 네론 모델의 허지 번들의 팔링스 메트릭을 포함하는 모듈라 높이 불변량을 정의한다.
• 큰 극화 조건 하에서 모듈라 높이가 유계인 아벨 다양체의 동형류의 유한성을 확립한다.
• 아라켈로프 이론적 교차 이론을 통해 모르에트-베일리의 기하적 유한성 결과를 산술적 맥락으로 일반화한다.

제안 방법

• 체 K의 극화를 ℤ 위의 스킴 B로 정의하며, 비음성 C∞-헤르미트 선다발을 갖도록 하여 B가 일반적으로 매끄럽고 K가 B의 함수체가 되도록 보장한다.
• A의 코드미너스 1에서의 네론 모델을 통해 B 위의 계수 1의 반사층으로서 허지 번들 λ(A/K;B)를 구성한다.
• 좋은 감소 부분에서 유래하는 국소 적분 가능 허리티안 메트릭인 팔링스 메트릭으로 λ(A/K;B)를 장비한다.
• 모듈라 높이 h(A)를 극화 클래스와 허지 번들의 첫 번째 체르누 클래스의 최고 차수 교차의 아라켈로프 이론적 차수로 정의한다.
• 자르힌의 기법을 사용하여 문제를 본질적으로 극화된 아벨 다양체로 축소하여, 4제곱 구축에 대해 모듈라 높이가 선형으로 스케일링됨을 보장한다.
• 반아벨 감소와 유계인 인자 클래스에 대한 유한성 결과를 적용하여 높이를 통제하고, 동형류의 유한성을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수체에서의 아벨 다양체의 모듈라 높이를 ℚ의 유한형도수를 가진 체로 일반화할 수 있는가? 이 경우에도 유한성 성질이 유지되는가?
• RQ2 네론 모델의 허지 번들의 팔링스 메트릭을 통한 아라켈로프 이론적 높이가, 높이가 유계인 경우 동형류의 유한 집합을 유도하는가?
• RQ3 기저 체 변경과 이소지니에 대해 모듈라 높이는 어떻게 행동하는가? 특히 토크션 구조와의 관계에서 어떻게 되는가?
• RQ4 전역 네론 모델이 존재하지 않을 경우 기하학적 및 산술적 교차 이론을 통해 높이가 유계인 아벨 다양체의 유한성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 높이 함수가 동형류 수를 통제하기 위해 극화에 어떤 조건이 필요한가?

주요 결과

• 아라켈로프 기하학과 허지 번들의 팔링스 메트릭을 이용하여, ℚ의 유한형도수를 가진 체 K 위의 아벨 다양체에 대해 모듈라 높이 h(A)가 잘 정의된다.
• 임의의 고정된 실수 c에 대해, h(A) ≤ c 를 만족하는 K 위의 아벨 다양체 A의 동형류 집합은 극화가 크다면 유한하다.
• 높이 h(A)는 A에 대한 B 위의 인자 E_A의 차수를 포함하는 수정 항을 통해 모듈라 높이 h_mod(A)와 관련이 있다. 이 수정 항은 악성 감소를 반영한다.
• 이 수정 항은 높이가 유계인 모든 A에 대해 일관되게 유계이므로, 이러한 모든 A는 B 위의 고정된 인자 D 이외의 곳에서 반아벨 감소를 가진다.
• 특정 기하 문제(비고 1.10.3)가 해결된다면, 극화가 엄밀히 미세하지 않은 경우에도 유한성 결과가 성립한다.
• 유한성 증명은 m-토션 점에서의 갈루아 표현의 유한성과, 토션 점이 유리수가 되는 유한 확장에서의 분기의 유계성에 의존한다.